Chương 6. Xác xuất có điều kiện

Chương 6: Xác xuất có điều kiện - Tổng quan

Xác suất có điều kiện là một khái niệm then chốt trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán khả năng xảy ra của một sự kiện khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Nó khác với xác suất thông thường ở chỗ nó giới hạn không gian mẫu, chỉ xét các kết quả mà sự kiện đã biết đã xảy ra.

Định nghĩa và Công thức

Xác suất có điều kiện của sự kiện A khi biết sự kiện B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa như sau:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Trong đó:

• P(A|B): Xác suất của sự kiện A khi biết sự kiện B đã xảy ra.
• P(A ∩ B): Xác suất của cả sự kiện A và sự kiện B xảy ra đồng thời.
• P(B): Xác suất của sự kiện B xảy ra.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Chúng ta lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để quả bóng thứ hai lấy được là màu đỏ, biết rằng quả bóng thứ nhất lấy được là màu xanh.

Giải:

Gọi A là sự kiện quả bóng thứ hai là màu đỏ, và B là sự kiện quả bóng thứ nhất là màu xanh.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

P(B) = 3/8 (xác suất lấy được quả bóng xanh đầu tiên)

P(A ∩ B) = (3/8) * (5/7) (xác suất lấy được quả bóng xanh đầu tiên và quả bóng đỏ thứ hai)

P(A|B) = (3/8 * 5/7) / (3/8) = 5/7

Các quy tắc và định lý quan trọng

Quy tắc nhân xác suất

P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)

Công thức xác suất toàn phần

Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một phân hoạch của không gian mẫu Ω, thì:

P(A) = P(A|B₁) * P(B₁) + P(A|B₂) * P(B₂) + ... + P(A|B_n) * P(B_n)

Định lý Bayes

P(B|A) = [P(A|B) * P(B)] / P(A)

Định lý Bayes cho phép chúng ta đảo ngược xác suất có điều kiện, tức là tính xác suất của B khi biết A đã xảy ra.

Ứng dụng của xác suất có điều kiện

• Y học: Chẩn đoán bệnh dựa trên kết quả xét nghiệm.
• Tài chính: Đánh giá rủi ro tín dụng.
• Marketing: Phân tích hành vi khách hàng.
• Học máy: Xây dựng các mô hình phân loại.

Bài tập thực hành

1. Một đồng xu được tung hai lần. Tính xác suất để được hai mặt ngửa, biết rằng ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa.
2. Trong một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để có ít nhất 2 học sinh nữ, biết rằng có ít nhất một học sinh nữ được chọn.

Kết luận

Chương 6 về xác suất có điều kiện cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc nắm vững các công thức, quy tắc và định lý trong chương này là rất cần thiết cho việc học tập và làm việc trong các ngành liên quan đến thống kê, khoa học dữ liệu và học máy.