Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian

Trong không gian Oxyz, đường thẳng là tập hợp các điểm thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để xác định một đường thẳng, chúng ta cần biết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ nếu giá của u song song với Δ hoặc trùng với Δ. Nếu u = (a; b; c) là vectơ chỉ phương của Δ, thì vectơ ku = (ka; kb; kc) cũng là vectơ chỉ phương của Δ với mọi k ≠ 0.

2. Các dạng phương trình đường thẳng

1. Phương trình tham số:

Nếu đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương u = (a; b; c) thì phương trình tham số của Δ là:

x = x₀ + at

y = y₀ + bt

z = z₀ + ct

Trong đó, t là tham số thực.

2. Phương trình chính tắc:

Nếu đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương u = (a; b; c) thì phương trình chính tắc của Δ là:

(x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c

Điều kiện: a, b, c khác 0.

3. Xác định đường thẳng trong không gian

Để xác định một đường thẳng trong không gian, chúng ta có thể sử dụng:

• Một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương.
• Hai điểm thuộc đường thẳng.
• Một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng đó.

4. Bài tập ví dụ

Bài 1: Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương u = (2; -1; 1).

Giải:

• Phương trình tham số:

x = 1 + 2t

y = 2 - t

z = 3 + t

• Phương trình chính tắc:

(x - 1)/2 = (y - 2)/-1 = (z - 3)/1

Bài 2: Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 0; -1) và B(3; 2; 1).

Giải:

Vectơ AB = (3-1; 2-0; 1-(-1)) = (2; 2; 2). Ta có thể chọn vectơ chỉ phương u = (1; 1; 1).

Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

x = 1 + t

y = t

z = -1 + t

5. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng trong không gian, cần chú ý đến các điều kiện để đảm bảo tính đúng đắn của kết quả. Ví dụ, trong phương trình chính tắc, các mẫu số a, b, c phải khác 0. Ngoài ra, cần kiểm tra lại các phép tính vectơ và tọa độ để tránh sai sót.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phương trình đường thẳng trong không gian. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán phức tạp hơn.