Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơnTrả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Giải thích tại sao \(\int {0dx = C} \) và \(\int {1dx = x + C} \)
b) Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\). Từ đó, tìm \(\int {{x^\alpha }dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\), với lần lượt \(F\left( x \right) = C\) và \(F\left( x \right) = x + C\).
b) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Do \(C' = 0\) nên hàm số \(F\left( x \right) = C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 0\). Như vậy \(\int {0dx = C} \).
Do \(x' = 1\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Như vậy \(\int {1dx = x + C} \).
b) Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^\alpha }\). Do đó \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm:
a) \(\int {{x^4}dx} \).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} \)\(\left( {x > 0} \right)\).
Phương pháp giải:
Biến đổi các biểu thức về dạng \(\int {{x^\alpha }dx} \) và sử dụng công thức \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ - 3}}dx = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) với \(x \ne 0\).
a) Tìm đạo hàm của \(F\left( x \right)\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{x}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\). Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\), sau đó tính đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trong từng trường hợp trên.
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Vậy ta có đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\) là \(F'\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
b) Từ câu a, ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
Do đó \(\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \)
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\cos xdx} \), \(\int {\sin x} dx\), \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các công thức đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\)
\(\left( { - \cos x} \right)' = - \left( { - \sin x} \right) = \sin x\)
\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
\(\left( { - \cot x} \right)' = - \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {\cos xdx} = \sin x + C\)
\(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} \)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\), sau đó sử dụng điều kiện \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số \(C\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos xdx} = \sin x + C\)
Suy ra \(F\left( 0 \right) = \sin 0 + C = C\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} + C = 1 + C\)
Do \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(C + \left( {1 + C} \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(F\left( x \right) = \sin x - \frac{1}{2}\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\) với \(a > 0\), \(a \ne 1\).
b) Từ đó, tìm \(\int {{e^x}dx} \) và \(\int {{a^x}dx} \) (\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\)(\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\) và \(\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{{{a^x}\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\).
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
\(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm
a) \(\int {{3^x}dx} \)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\) và \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {{e^2}} \right)}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).
