Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Chào mừng bạn đến với bài học thứ hai trong chuỗi bài giảng về lý thuyết xác suất. Trong bài học này, chúng ta sẽ tập trung vào hai công thức nền tảng và vô cùng quan trọng: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Hai công thức này không chỉ là kiến thức lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

1. Công thức xác suất toàn phần

Định nghĩa: Công thức xác suất toàn phần cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua nhiều con đường khác nhau. Nói cách khác, nó giúp chúng ta phân tích một sự kiện phức tạp thành các sự kiện đơn giản hơn và tính tổng xác suất của chúng.

Công thức: Giả sử {B₁, B₂, ..., B_n} là một hệ các biến cố đầy đủ (tức là chúng đôi một xung khắc và tổng xác suất của chúng bằng 1). Khi đó, xác suất của biến cố A được tính như sau:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n) = ∑_i=1ⁿ P(A|B_i)P(B_i)

Ví dụ: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 5%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

1. Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
2. Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.
3. Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.05 * 0.4 = 0.032

Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 3.2%.

2. Công thức Bayes

Định nghĩa: Công thức Bayes cho phép chúng ta cập nhật niềm tin về một giả thuyết dựa trên bằng chứng mới. Nó là một công cụ quan trọng trong suy luận thống kê và học máy.

Công thức:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A)

Trong đó:

• P(B|A): Xác suất của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra (xác suất hậu nghiệm).
• P(A|B): Xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra (khả năng).
• P(B): Xác suất tiên nghiệm của biến cố B.
• P(A): Xác suất của biến cố A (bằng chứng).

Ví dụ: Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để chẩn đoán một bệnh hiếm gặp. Xét nghiệm có độ chính xác 95% (tức là nếu bệnh nhân mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính 95% thời gian, và nếu bệnh nhân không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính 95% thời gian). Biết rằng 1% dân số mắc bệnh này. Một người được xét nghiệm và kết quả dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh.

1. Gọi B là biến cố “người mắc bệnh”.
2. Gọi A là biến cố “kết quả xét nghiệm dương tính”.

Chúng ta có:

• P(B) = 0.01 (xác suất mắc bệnh)
• P(A|B) = 0.95 (độ nhạy của xét nghiệm)
• P(A|¬B) = 0.05 (tỷ lệ dương tính giả)

Tính P(A) bằng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|¬B)P(¬B) = 0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99 = 0.059

Áp dụng công thức Bayes:

P(B|A) = (0.95 * 0.01) / 0.059 ≈ 0.161

Vậy, xác suất người này thực sự mắc bệnh là khoảng 16.1%, thấp hơn nhiều so với độ chính xác của xét nghiệm. Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc xem xét xác suất tiên nghiệm khi đánh giá kết quả xét nghiệm.

3. Ứng dụng của công thức xác suất toàn phần và Bayes

Hai công thức này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực:

• Y học: Chẩn đoán bệnh, đánh giá hiệu quả điều trị.
• Kỹ thuật: Kiểm tra chất lượng sản phẩm, dự đoán độ tin cậy của hệ thống.
• Tài chính: Đánh giá rủi ro, dự đoán giá cổ phiếu.
• Học máy: Phân loại, nhận dạng mẫu.
• Thống kê: Suy luận thống kê, kiểm định giả thuyết.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Hãy luyện tập thêm với các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!