Bài 1. Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện là một khái niệm nền tảng trong lý thuyết xác suất và thống kê. Nó cho phép chúng ta cập nhật niềm tin về khả năng xảy ra của một sự kiện dựa trên thông tin về việc một sự kiện khác đã xảy ra. Bài viết này sẽ đi sâu vào định nghĩa, công thức, ví dụ minh họa và ứng dụng của xác suất có điều kiện.
1. Định nghĩa Xác suất có điều kiện
Giả sử A và B là hai biến cố trong không gian mẫu Ω. Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa là:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (với P(B) > 0)
Trong đó:
- P(A|B): Xác suất của A khi biết B đã xảy ra.
- P(A ∩ B): Xác suất của cả A và B xảy ra.
- P(B): Xác suất của B xảy ra.
Điều kiện P(B) > 0 là cần thiết để đảm bảo rằng phép chia không xác định.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để quả bóng thứ hai là màu đỏ, biết rằng quả bóng thứ nhất là màu đỏ.
Giải:
Gọi A là biến cố “quả bóng thứ hai là màu đỏ” và B là biến cố “quả bóng thứ nhất là màu đỏ”. Ta cần tính P(A|B).
P(A ∩ B) = Xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ = (5/8) * (4/7) = 20/56
P(B) = Xác suất để quả bóng thứ nhất là màu đỏ = 5/8
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (20/56) / (5/8) = 4/7
Ví dụ 2: Tung hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng hai mặt là 7, biết rằng mặt của con xúc xắc thứ nhất là 3.
Giải:
Gọi A là biến cố “tổng hai mặt là 7” và B là biến cố “mặt của con xúc xắc thứ nhất là 3”. Ta cần tính P(A|B).
P(A ∩ B) = Xác suất để tổng là 7 và mặt thứ nhất là 3 = 1/36 (chỉ có một trường hợp: (3,4))
P(B) = Xác suất để mặt thứ nhất là 3 = 1/6
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (1/36) / (1/6) = 1/6
3. Công thức xác suất có điều kiện mở rộng (Định lý Bayes)
Định lý Bayes là một công cụ mạnh mẽ để tính toán xác suất có điều kiện trong các tình huống phức tạp. Công thức của định lý Bayes là:
P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)
Trong đó:
- P(A|B): Xác suất của A khi biết B đã xảy ra.
- P(B|A): Xác suất của B khi biết A đã xảy ra.
- P(A): Xác suất của A.
- P(B): Xác suất của B.
4. Ứng dụng của Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
- Y học: Chẩn đoán bệnh dựa trên kết quả xét nghiệm.
- Tài chính: Đánh giá rủi ro tín dụng.
- Marketing: Dự đoán hành vi của khách hàng.
- Kỹ thuật: Đánh giá độ tin cậy của hệ thống.
5. Bài tập áp dụng
- Một túi chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen.
- Một cuộc khảo sát cho thấy 60% người dân ủng hộ chính sách A. Trong số những người ủng hộ chính sách A, 70% là nam giới. Tính xác suất để một người được chọn ngẫu nhiên là nam giới và ủng hộ chính sách A.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về xác suất có điều kiện. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!
