Lý Thuyết Tọa Độ Vectơ Không Gian Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo

Lý thuyết Tọa độ của vecto trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong Không Gian - Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo

Bài học này cung cấp kiến thức nền tảng về tọa độ của vectơ trong không gian Oxyz, một phần quan trọng của chương trình Hình học không gian lớp 12.

Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách xác định tọa độ của vectơ, các phép toán trên vectơ biểu diễn bằng tọa độ, và ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian.

Tusach.vn tổng hợp lý thuyết chi tiết, bài tập minh họa và hướng dẫn giải giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.

Bài 2. Tọa độ của vecto trong không gian 1. Hệ trục tọa độ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là ba vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz.

2. Tọa độ của điểm và vecto

a) Tọa độ của điểm

Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.

b) Tọa độ của vecto

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \). Nếu \(\overrightarrow a = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \) thì ta gọi bộ ba số \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz và viết \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\).

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)

a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} .\)

b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\).

b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x - 3; y - 2; z - 5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} .\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4.

Vậy B’(7;2;4).

Lập luận tương tự suy ra C’ (11;-3;8).

Lý thuyết Tọa độ của vecto trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo 1

Lý Thuyết Tọa Độ Vectơ Trong Không Gian Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo

Chào mừng các em học sinh đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong Không Gian, thuộc chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo. Đây là một phần kiến thức vô cùng quan trọng, giúp các em xây dựng nền tảng vững chắc cho việc giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp.

1. Hệ Tọa Độ Oxyz

Hệ tọa độ Oxyz trong không gian là một hệ tọa độ ba chiều, được xác định bởi ba trục vuông góc nhau Ox, Oy, Oz. Mỗi điểm trong không gian được xác định duy nhất bởi bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm đó.

2. Vectơ Trong Không Gian

Một vectơ trong không gian được xác định bởi độ dài và hướng. Vectơ có thể được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có hướng, hoặc bằng bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của vectơ.

3. Tọa Độ Của Vectơ

Cho vectơ a = PQ, với P(x_P, y_P, z_P) và Q(x_Q, y_Q, z_Q). Tọa độ của vectơ a là:

a = (x_Q - x_P, y_Q - y_P, z_Q - z_P)

4. Các Phép Toán Trên Vectơ (Biểu Diễn Bằng Tọa Độ)

Phép cộng vectơ:a + b = (x_a + x_b, y_a + y_b, z_a + z_b)
Phép trừ vectơ:a - b = (x_a - x_b, y_a - y_b, z_a - z_b)
Phép nhân vectơ với một số thực: ka = (kx_a, ky_a, kz_a)

5. Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số thực, được tính bằng công thức:

a ⋅ b = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b

Ứng dụng của tích vô hướng: Tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ.

6. Tích Có Hướng Của Hai Vectơ

Tích có hướng của hai vectơ a và b là một vectơ, được tính bằng công thức (sử dụng định thức):

[a, b] = (y_az_b - z_ay_b, z_ax_b - x_az_b, x_ay_b - y_ax_b)

Ứng dụng của tích có hướng: Tính diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ, tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

7. Bài Tập Vận Dụng

Để hiểu rõ hơn về lý thuyết, các em hãy cùng làm một số bài tập sau:

Cho A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Cho a = (1, -2, 3) và b = (2, 1, -1). Tính a + b và a ⋅ b.

Tusach.vn hy vọng bài học này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức về Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong Không Gian. Chúc các em học tập tốt!

Công thức	Mô tả
a ⋅ b = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b	Tích vô hướng
[a, b] = (y_az_b - z_ay_b, z_ax_b - x_az_b, x_ay_b - y_ax_b)	Tích có hướng