Đề bài
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} + x - 2\)
b) \(y = 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các cực trị của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết
a) \(y = {x^3} + x - 2\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(y' = 3{x^2} + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Hàm số không có cực trị
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ({x^3} + x - 2) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^3} + x - 2) = + \infty \)
Khi x = 0 thì y = -2 nên (0; -2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow {x^3} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)
b) \(y = 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(y' = 6{x^2} + 2x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\x = \frac{1}{6}\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); \( - \frac{1}{2}\)), (\(\frac{1}{6}\); \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (\( - \frac{1}{2}\); \(\frac{1}{6}\)) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
Hàm số đạt cực đại tại x = \( - \frac{1}{2}\) và \({y_{cd}} = - \frac{{11}}{4}\)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = \(\frac{1}{6}\) và \({y_{ct}} = - \frac{{329}}{{108}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3) = + \infty \)
Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1,06\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1,06; 0)
