Bài 3. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Trong chương trình học hình học vectơ, việc hiểu rõ về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn chi tiết và dễ hiểu về chủ đề này, bao gồm lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành.

1. Biểu diễn vectơ trong hệ tọa độ

Một vectơ trong không gian hai chiều (R²) hoặc ba chiều (R³) có thể được biểu diễn bằng tọa độ của nó. Ví dụ, vectơ a trong R² có thể được biểu diễn là a = (x; y), trong đó x và y là các tọa độ của vectơ.

Tương tự, trong R³, vectơ a được biểu diễn là a = (x; y; z).

2. Phép cộng và phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂) trong R²:

• a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂)
• a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂)

Tương tự, trong R³:

• a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)
• a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂)

3. Phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x; y) và một số thực k:

ka = (kx; ky)

Trong R³:

ka = (kx; ky; kz)

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂) được tính như sau:

a . b = x₁x₂ + y₁y₂

Trong R³:

a . b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Tích vô hướng có ứng dụng quan trọng trong việc tính góc giữa hai vectơ và kiểm tra tính vuông góc.

5. Tích có hướng của hai vectơ (trong R³)

Tích có hướng của hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂) được tính như sau:

a x b = (y₁z₂ - z₁y₂; z₁x₂ - x₁z₂; x₁y₂ - y₁x₂)

Tích có hướng là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b. Nó có ứng dụng trong việc tính diện tích hình bình hành và thể tích hình hộp.

Ví dụ minh họa

Cho a = (2; 3) và b = (1; -1):

• a + b = (3; 2)
• a - b = (1; 4)
• 2a = (4; 6)
• a . b = 2(1) + 3(-1) = -1

Bài tập thực hành

1. Cho a = (1; 2; 3) và b = (-1; 0; 1). Tính a + b, a - b, 3a, a . b.
2. Cho a = (1; 1; 0) và b = (0; 1; 1). Tính a x b.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!