Giải bài tập 6 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tổng quan nội dung
Giải bài tập 6 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tusach.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 6 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp các em học sinh có thể tự học và ôn tập hiệu quả.
Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11). Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất. a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi. b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được. Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm
Đề bài
Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11).
Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.
a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được. Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Công thức thể tích hình hộp: V = xyz
b) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
− Tìm cực trị của hàm số
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Bạn Việt nên chọn giá trị x mà tại đó cho giá trị của V là lớn nhất theo bảng biến thiên
Lời giải chi tiết
a) Chiều cao của hộp sau khi cắt là: x
Chiều dài của hộp sau khi cắt là: 6 – 2x
Chiều rộng của hộp sau khi cắt là: 6 – 2x
Thể tích của hộp là: \(V(x) = x{(6 - 2x)^2} = 4{x^3} - 24{x^2} + 36x\)
b) Tập xác định: \(D = (0;3)\)
- Chiều biến thiên:
\(V'(x) = 12{x^2} - 48x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (0; 1), (3; \( + \infty \)) thì V'(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (1; 3) thì V'(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và \({y_{cd}} = 16\)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{ct}} = 0\)
- Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì V(x) = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(V(x) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 24{x^2} + 36x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (0; 0) và (3; 0)
Vì 0 < x < 3 (vì ở mỗi cạnh đều cắt đi 2 đầu nên nếu x \( \ge \) 3 thì bạn Việt phải cắt hết tấm bìa. Do đó, bạn Việt nên cắt đi 4 hình vuông ở góc có cạnh bằng 1dm để thể tích của hộp đạt giá trị lớn nhất là 16\(d{m^3}\).
Giải bài tập 6 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu
Bài tập 6 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết bài tập này, giúp các em hiểu rõ cách tiếp cận và giải quyết các bài toán tương tự.
Nội dung bài tập 6 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài tập yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến. Cụ thể, bài tập thường cho một hàm số và yêu cầu:
- Xác định tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
- Tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số (nếu cần).
Phương pháp giải bài tập 6 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
- Đạo hàm: Hiểu rõ định nghĩa và các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản.
- Điểm cực trị: Biết cách tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0.
- Khoảng đồng biến, nghịch biến: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất.
Lời giải chi tiết bài tập 6 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo (Ví dụ minh họa)
(Giả sử bài tập cụ thể là: Khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2)
Bước 1: Xác định tập xác định
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có tập xác định là D = ℝ.
Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất
y' = 3x2 - 6x
Bước 3: Tìm các điểm cực trị
Giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Vậy hàm số có hai điểm cực trị là x = 0 và x = 2.
Bước 4: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến
Xét dấu y':
- Khi x < 0: y' > 0 ⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞; 0)
- Khi 0 < x < 2: y' < 0 ⇒ Hàm số nghịch biến trên (0; 2)
- Khi x > 2: y' > 0 ⇒ Hàm số đồng biến trên (2; +∞)
Bước 5: Kết luận
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị y = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị y = -2.
Lưu ý khi giải bài tập
Khi giải bài tập về khảo sát hàm số, cần chú ý:
- Tính toán đạo hàm chính xác.
- Xét dấu đạo hàm cẩn thận để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh có thể tự tin giải bài tập 6 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!