Bài 2. Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 2. Toạ độ của vectơ trong không gian

Trong chương trình Toán 12, chủ đề về vectơ trong không gian đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là phần toạ độ của vectơ. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian, bao gồm lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng.

1. Hệ tọa độ Oxyz trong không gian

Hệ tọa độ Oxyz trong không gian là một hệ tọa độ ba chiều, được xác định bởi ba trục vuông góc nhau: trục Ox, trục Oy và trục Oz. Giao điểm của ba trục là gốc tọa độ O. Mỗi điểm trong không gian được xác định bởi một bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm đó.

2. Vectơ trong không gian và tọa độ của vectơ

Một vectơ trong không gian được xác định bởi độ dài và hướng. Vectơ a được biểu diễn bằng cặp điểm A và B, ký hiệu AB. Tọa độ của vectơ a = AB được tính bằng hiệu tọa độ của điểm B và điểm A: a = (xB - xA; yB - yA; zB - zA).

3. Các phép toán trên vectơ trong không gian

• Phép cộng vectơ:a + b = (xA + xB; yA + yB; zA + zB)
• Phép trừ vectơ:a - b = (xA - xB; yA - yB; zA - zB)
• Phép nhân vectơ với một số thực: ka = (kxA; kyA; kzA)

4. Các dạng bài tập thường gặp

1. Tìm tọa độ của vectơ khi biết tọa độ các điểm: Đây là dạng bài tập cơ bản, yêu cầu học sinh áp dụng công thức tính tọa độ vectơ.
2. Tìm tọa độ của điểm khi biết tọa độ các điểm và tọa độ của vectơ: Sử dụng các phép toán trên vectơ để tìm tọa độ điểm cần tìm.
3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ AB và AC cùng phương, tức là tồn tại một số thực k sao cho AC = kAB.
4. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng: Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi vectơ AB, AC và AD đồng phẳng, tức là tồn tại các số thực k1, k2 sao cho AD = k1AB + k2AC.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tìm tọa độ của vectơ AB.

Giải:AB = (4 - 1; 5 - 2; 6 - 3) = (3; 3; 3)

Ví dụ 2: Cho a = (1; -2; 3) và b = (2; 1; -1). Tính a + b và 2a.

Giải:a + b = (1 + 2; -2 + 1; 3 - 1) = (3; -1; 2)

2a = (2 * 1; 2 * -2; 2 * 3) = (2; -4; 6)

6. Bài tập tự luyện

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Cho A(2; -1; 0) và B(0; 3; -2). Tìm tọa độ của vectơ AB.
• Bài 2: Cho a = (-1; 2; -3) và b = (4; -1; 2). Tính a - b và -3a.

Tusach.vn hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Bài 2. Toạ độ của vectơ trong không gian. Chúc bạn học tập tốt!