Lý thuyết Phương sai & Độ lệch chuẩn - Toán 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Phương sai và Độ lệch chuẩn trong Toán 12

Phương sai và độ lệch chuẩn là những khái niệm quan trọng trong thống kê, giúp đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, việc nắm vững lý thuyết này là nền tảng để giải quyết các bài toán thực tế và hiểu sâu hơn về phân phối thống kê.

Bài viết này sẽ cung cấp một cách đầy đủ và dễ hiểu về lý thuyết Phương sai và Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập để bạn có thể tự kiểm tra kiến thức.

Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm 1. Phương sai và độ lệch chuẩn

1. Phương sai và độ lệch chuẩn

- Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s², là một số được tính theo công thức sau:

\({s^2} = \frac{{m{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}}}{n}\)

Trong đó, \(n = {m_1} + ... + {m_k}\); \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) với I = 1,2,…,k là giá trị đại diện cho nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) và \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

- Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \).

2. Ý nghĩa

- Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

- Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Chân trời sáng tạo 1

Lý thuyết Phương sai và Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm - Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, việc hiểu rõ về phương sai và độ lệch chuẩn là vô cùng quan trọng. Đây là những công cụ thống kê cơ bản giúp chúng ta đánh giá mức độ biến động của một tập dữ liệu. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, công thức và cách áp dụng để tính toán phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm.

1. Khái niệm về Phương sai và Độ lệch chuẩn

Phương sai (Variance), ký hiệu là σ² (cho tổng thể) hoặc s² (cho mẫu), là giá trị trung bình của bình phương độ lệch của mỗi giá trị trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình của tập dữ liệu đó. Nói cách khác, phương sai đo lường mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình.

Độ lệch chuẩn (Standard Deviation), ký hiệu là σ (cho tổng thể) hoặc s (cho mẫu), là căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn cung cấp một thước đo trực quan hơn về mức độ phân tán của dữ liệu, vì nó được biểu diễn bằng cùng đơn vị với dữ liệu gốc.

2. Công thức tính Phương sai và Độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm

Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta không có dữ liệu gốc mà chỉ có các khoảng giá trị và tần số tương ứng. Do đó, công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn sẽ khác một chút.

Giả sử ta có mẫu số liệu ghép nhóm với các giá trị x₁, x₂, ..., x_k và tần số tương ứng là n₁, n₂, ..., n_k. Tổng số phần tử trong mẫu là N = n₁ + n₂ + ... + n_k.

Giá trị trung bình (x̄): x̄ = (∑(x_i * n_i)) / N
Phương sai (s²): s² = (∑(n_i * (x_i - x̄)²)) / (N - 1)
Độ lệch chuẩn (s): s = √s²

3. Ví dụ minh họa

Xét bảng số liệu sau:

Khoảng giá trị	Tần số (n_i)
[0 - 10)	5
[10 - 20)	8
[20 - 30)	7
Tổng	20

Bước 1: Tính giá trị trung bình (x̄)

Giả sử giá trị đại diện cho mỗi khoảng là trung điểm: x₁ = 5, x₂ = 15, x₃ = 25.

x̄ = (5 * 5 + 15 * 8 + 25 * 7) / 20 = 17

Bước 2: Tính phương sai (s²)

s² = (5 * (5 - 17)² + 8 * (15 - 17)² + 7 * (25 - 17)²) / (20 - 1) = (5 * 144 + 8 * 4 + 7 * 64) / 19 = 112

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn (s)

s = √112 ≈ 10.58

4. Ý nghĩa của Phương sai và Độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán. Ngược lại, phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung xung quanh giá trị trung bình.

5. Bài tập thực hành

Tính phương sai và độ lệch chuẩn cho bảng số liệu sau:

Khoảng giá trị	Tần số (n_i)
[5 - 10)	3
[10 - 15)	6
[15 - 20)	4

Giải thích ý nghĩa của kết quả vừa tính được.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Phương sai và Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trong Toán 12 Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!