Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 30 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
b) \(y = \frac{{2x}}{{3x - 1}}\)
c) \(y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}}\)
Phương pháp giải:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
− Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} \le 0\forall x \in D\)nên hàm số nghịch biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1\) nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = -1 nên (0; -1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1; 0)
b) \(y = \frac{{2x}}{{3x - 1}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ \frac{1}{3}\} \)
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(3x - 1)}^2}}} \le 0\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{3x - 1}} = \frac{2}{3};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x}}{{3x - 1}} = \frac{2}{3}\) nên y = \(\frac{2}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ + }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ - }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} = - \infty \) nên x = \(\frac{1}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{3x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (0; 0)
c) \(y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \)
\(y' = \frac{7}{{{{(2 - x)}^2}}} \ge 0\forall x \in D\) nên hàm số đồng biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = - 1\) nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} = + \infty \) nên x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = \(\frac{5}{2}\) nên (0; \(\frac{5}{2}\)) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = - 5\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-5; 0)
