Giải mục 4 trang 48,49,50 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tổng quan nội dung
Giải mục 4 trang 48,49,50 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tusach.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập mục 4 trang 48, 49, 50 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài giải được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác lời giải các bài tập trong SGK Toán 12 tập 1.
Tích vô hướng của hai vectơ
KP5
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mặt phẳng.
b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong không gian?
Phương pháp giải:
Nhớ lại định nghĩa đã học về góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mặt phẳng và suy luận ra góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Trong mặt phẳng, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
KP6
Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian, cho \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) thoả mãn \(|\overrightarrow u | = 2\) , \(|\overrightarrow v | = 3\). Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \), \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \) (Hình 24). Giả sử \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)
a) Tính góc \((\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
Phương pháp giải:
a) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = |\overrightarrow u |.|\overrightarrow v |.\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
Lời giải chi tiết:
a) Góc \((\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\) = \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) = \(AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 2.3.\cos 60^\circ = 3\)
TH8
Trả lời câu hỏi Thực hành 8 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} ),(\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} )\)
Phương pháp giải:
Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
Lời giải chi tiết:
Góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} )\) = góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} )\) = \(90^\circ \) (góc giữa 2 đường chéo của hình vuông)
\((\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} ) = (\overrightarrow {B'B} ,\overrightarrow {CB'} ) = {180^o} - (\overrightarrow {B'B} ,\overrightarrow {B'C} ) = {180^o} - {45^o} = {135^o}\)
TH9
Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.
a) Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \), \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} \)
b) Tính góc \((\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC'} )\) (kết quả làm tròn đến phút).
Phương pháp giải:
a) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = |\overrightarrow u |.|\overrightarrow v |.\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
b) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 1.\sqrt 2 .\cos 45^\circ = 1\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BB'} = 0\) vì \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BB'} \)
b) Xét tam giác CAC’ vuông tại C:
\(AC = \sqrt 2 \); CC’ = 1 => \(\tan (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC'} ) = \tan \widehat {C'AC} = \frac{{CC'}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {C'AC} = 35^\circ \).
VD4
Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \(30^\circ \) (Hình 26).
a) Tính độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do \(\overrightarrow g \) có độ lớn 9,8\(m/{s^2}\)
b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực \(\overrightarrow F \) có độ dịch chuyển \(\overrightarrow d \) được tính bởi công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \). Hãy tính công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.
Phương pháp giải:
a) Áp dụng công thức tính trọng lực P = mg
b) Công thức tính công: \(A = Fs\cos \alpha \)
Lời giải chi tiết:
a) Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: \(P = mg = 25.9,8 = 245N\)
b) Công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là: \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d = Pd\cos 60^\circ = 245.3,5.\frac{1}{2} = 428,75J\)
- KP5
- TH8
- KP6
- TH9
- VD4
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mặt phẳng.
b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong không gian?
Phương pháp giải:
Nhớ lại định nghĩa đã học về góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mặt phẳng và suy luận ra góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Trong mặt phẳng, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
Trả lời câu hỏi Thực hành 8 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} ),(\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} )\)
Phương pháp giải:
Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
Lời giải chi tiết:
Góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} )\) = góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} )\) = \(90^\circ \) (góc giữa 2 đường chéo của hình vuông)
\((\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} ) = (\overrightarrow {B'B} ,\overrightarrow {CB'} ) = {180^o} - (\overrightarrow {B'B} ,\overrightarrow {B'C} ) = {180^o} - {45^o} = {135^o}\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian, cho \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) thoả mãn \(|\overrightarrow u | = 2\) , \(|\overrightarrow v | = 3\). Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \), \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \) (Hình 24). Giả sử \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)
a) Tính góc \((\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
Phương pháp giải:
a) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = |\overrightarrow u |.|\overrightarrow v |.\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
Lời giải chi tiết:
a) Góc \((\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\) = \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) = \(AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 2.3.\cos 60^\circ = 3\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.
a) Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \), \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} \)
b) Tính góc \((\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC'} )\) (kết quả làm tròn đến phút).
Phương pháp giải:
a) Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = |\overrightarrow u |.|\overrightarrow v |.\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)
b) Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ không. Từ một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
Lời giải chi tiết:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 1.\sqrt 2 .\cos 45^\circ = 1\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BB'} = 0\) vì \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BB'} \)
b) Xét tam giác CAC’ vuông tại C:
\(AC = \sqrt 2 \); CC’ = 1 => \(\tan (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC'} ) = \tan \widehat {C'AC} = \frac{{CC'}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {C'AC} = 35^\circ \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \(30^\circ \) (Hình 26).
a) Tính độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do \(\overrightarrow g \) có độ lớn 9,8\(m/{s^2}\)
b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực \(\overrightarrow F \) có độ dịch chuyển \(\overrightarrow d \) được tính bởi công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \). Hãy tính công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.
Phương pháp giải:
a) Áp dụng công thức tính trọng lực P = mg
b) Công thức tính công: \(A = Fs\cos \alpha \)
Lời giải chi tiết:
a) Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: \(P = mg = 25.9,8 = 245N\)
b) Công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là: \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d = Pd\cos 60^\circ = 245.3,5.\frac{1}{2} = 428,75J\)
Giải mục 4 trang 48,49,50 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan và Hướng dẫn chi tiết
Mục 4 của SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn tập chương 1: Giới hạn. Đây là một phần quan trọng, đặt nền móng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn trong chương trình học. Việc nắm vững các khái niệm về giới hạn, các định lý liên quan và kỹ năng tính giới hạn là vô cùng cần thiết.
Nội dung chính của Mục 4 trang 48,49,50
Mục 4 bao gồm các bài tập vận dụng các kiến thức đã học về giới hạn để giải quyết các bài toán cụ thể. Các bài tập thường yêu cầu:
- Tính giới hạn của hàm số tại một điểm.
- Tính giới hạn của dãy số.
- Sử dụng các định lý về giới hạn để đơn giản hóa bài toán.
- Ứng dụng giới hạn vào việc giải quyết các bài toán thực tế.
Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong mục 4 trang 48, 49, 50 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo:
Bài 1: Tính các giới hạn sau
a) lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)
Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành (x - 2)(x + 2). Khi đó:
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 4
b) lim (x→0) sin(x) / x
Lời giải: Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Ta có:
lim (x→0) sin(x) / x = 1
Bài 2: Tính giới hạn của dãy số (u_n) với u_n = (2n + 1) / (n + 1)
Lời giải: Ta có thể chia cả tử và mẫu cho n:
lim (n→∞) (2n + 1) / (n + 1) = lim (n→∞) (2 + 1/n) / (1 + 1/n) = 2 / 1 = 2
Bài 3: Cho hàm số f(x) = x^2 + 1. Tính f'(x) bằng định nghĩa.
Lời giải: Theo định nghĩa, f'(x) = lim (h→0) [f(x + h) - f(x)] / h
f'(x) = lim (h→0) [(x + h)^2 + 1 - (x^2 + 1)] / h = lim (h→0) (x^2 + 2xh + h^2 + 1 - x^2 - 1) / h = lim (h→0) (2xh + h^2) / h = lim (h→0) (2x + h) = 2x
Mẹo giải nhanh và hiệu quả
Để giải các bài tập về giới hạn một cách nhanh chóng và hiệu quả, bạn nên:
- Nắm vững các định nghĩa và định lý về giới hạn.
- Sử dụng các kỹ thuật biến đổi đại số để đơn giản hóa biểu thức.
- Áp dụng các giới hạn lượng giác cơ bản.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
Tầm quan trọng của việc hiểu rõ giới hạn
Giới hạn là một khái niệm nền tảng trong giải tích, được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và khoa học kỹ thuật. Việc hiểu rõ giới hạn không chỉ giúp bạn giải quyết các bài tập trong SGK mà còn là bước đệm quan trọng để học các kiến thức nâng cao hơn như đạo hàm, tích phân và phương trình vi phân.
Tusach.vn hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài tập về giới hạn. Chúc các bạn học tốt!