Đề bài
Cho bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\), \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\).
a) Chứng minh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là bốn đỉnh của một hình chóp.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để chứng minh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là bốn đỉnh của một hình chóp, viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), rồi chỉ ra điểm \(A\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).
b) Xác định toạ độ của các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) , \(\overrightarrow {CD} \) lần lượt của các đường thẳng \(AB\) và \(CD\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {AB,CD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\).
c) Độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), sau đó sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết
a) Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\), \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\) nên nó có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 2;0; - 1} \right)\). Vậy một vectơ pháp tuyến của \(\left( {BCD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)\). Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(1\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0\), hay \(x - 2y - 2z + 2 = 0\).
Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), ta thấy không thoả mãn, do \(1 - 2.0 - 2.0 + 2 = 3 \ne 0\).
Vậy \(A\) không thuộc \(\left( {BCD} \right)\), suy ra \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) không đồng phẳng. Điều này cũng có nghĩa 4 điểm trên là 4 đỉnh của một hình chóp.
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;1; - 2} \right)\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(AB\) và \(CD\).
Ta có \(\cos \left( {AB,CD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 1.1 + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Suy ra \(\left( {AB,CD} \right) = {45^o}\).
c) Ta có độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Khoảng cách đó bằng:
\(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.0 - 2.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1\)
