Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số - Tổng quan

Chương 1 trong chương trình giải tích tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để nghiên cứu và vẽ đồ thị hàm số. Đây là một phần quan trọng, giúp học sinh và sinh viên hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số, từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.

1. Các khái niệm cơ bản

• Đạo hàm: Tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại một điểm.
• Cực trị của hàm số: Điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất (cực đại) hoặc nhỏ nhất (cực tiểu) trong một khoảng nào đó.
• Điểm uốn: Điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.
• Khoảng đơn điệu: Khoảng mà hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm.

2. Quy tắc khảo sát hàm số bằng đạo hàm

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm cấp nhất (f').
3. Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0.
4. Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn:
   • f'(x) > 0: Hàm số đồng biến.
   • f'(x) < 0: Hàm số nghịch biến.
5. Tìm cực trị của hàm số:
   • Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x = a: Hàm số đạt cực đại tại x = a.
   • Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x = a: Hàm số đạt cực tiểu tại x = a.
6. Tính đạo hàm cấp hai (f'').
7. Tìm các điểm uốn: Giải phương trình f''(x) = 0.
8. Xác định dấu của f''(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm uốn:
   • f''(x) > 0: Đồ thị hàm số lồi.
   • f''(x) < 0: Đồ thị hàm số lõm.
9. Vẽ đồ thị hàm số: Dựa trên các thông tin đã thu thập được.

3. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Bước 1: Tập xác định: D = R.

Bước 2: Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x.

Bước 3: Giải phương trình y' = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.

Bước 4: Xác định dấu của y':

Bước 5: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y(0) = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y(2) = -2.

Bước 6: Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6.

Bước 7: Giải phương trình y'' = 0: 6x - 6 = 0 => x = 1.

Bước 8: Xác định dấu của y'':

Bước 9: Điểm uốn là (1, 0).

4. Luyện tập và nâng cao

Để nắm vững kiến thức, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Tusach.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

5. Kết luận

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số là một chương quan trọng, đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về đạo hàm và các khái niệm liên quan. Hy vọng với tài liệu và hướng dẫn chi tiết của Tusach.vn, bạn sẽ học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất.