Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3: Ứng dụng Hình học của Tích Phân

Chào mừng bạn đến với bài học số 3 trong chương trình Giải tích, tập trung vào một trong những ứng dụng quan trọng nhất của tích phân: ứng dụng trong hình học. Bài học này sẽ trang bị cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tính toán diện tích hình phẳng và thể tích vật thể bằng phương pháp tích phân.

I. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b, ta sử dụng công thức:

Diện tích = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó:

• f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b]
• |f(x)| là giá trị tuyệt đối của f(x)

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Giải:

Diện tích = ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3

II. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

Có nhiều phương pháp để tính thể tích vật thể bằng tích phân, tùy thuộc vào hình dạng của vật thể. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

• Phương pháp đĩa tròn: Sử dụng khi vật thể có tiết diện vuông góc với một trục là một hình tròn.
• Phương pháp vỏ trụ: Sử dụng khi vật thể có tiết diện vuông góc với một trục là một hình trụ.

Công thức tính thể tích bằng phương pháp đĩa tròn:

Thể tích = π ∫_a^b [f(x)]² dx

Công thức tính thể tích bằng phương pháp vỏ trụ:

Thể tích = 2π ∫_a^b x * f(x) dx

Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tạo bởi việc quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.

Giải:

Thể tích = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = 8π

III. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin(x), trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = π.
2. Tính thể tích vật thể tạo bởi việc quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Oy và đường thẳng y = 4 quanh trục Oy.

IV. Kết luận

Bài học về ứng dụng hình học của tích phân đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến diện tích và thể tích. Việc luyện tập thường xuyên và áp dụng các công thức một cách linh hoạt sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức này.

Hãy tiếp tục khám phá các ứng dụng khác của tích phân trong các bài học tiếp theo tại tusach.vn. Chúc bạn học tập tốt!