Đề bài
Cho điểm \(M\left( {3; - 1;2} \right)\). Tìm:
a) Toạ độ điểm \(M'\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua gốc toạ độ \(O\).
b) Toạ độ điểm \(O'\) là điểm đối xứng của điểm \(O\) qua điểm \(M\).
c) Khoảng cách từ \(M\) đến gốc toạ độ.
d) Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ \(M'\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua điểm \(I\) thì \(I\) là trung điểm của \(MM'\).
‒ Khoảng cách từ \(M\) đến gốc toạ độ là độ dài đoạn thẳng \(OM\).
‒ Để tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), ta tìm điểm \(M'\) là hình chiếu của \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Khi đó khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) bằng độ dài đoạn thẳng \(MM'\).
Lời giải chi tiết
a) Giả sử \(M'\left( {{x_{M'}};{y_{M'}};{z_{M'}}} \right)\).
\(M'\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua gốc toạ độ \(O\) thì \(O\) là trung điểm của \(MM'\).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}3 + {x_{M'}} = 2.0\\ - 1 + {y_{M'}} = 2.0\\2 + {z_{M'}} = 2.0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - 3\\{y_{M'}} = 1\\{z_{M'}} = - 2\end{array} \right.\). Vậy \(M'\left( { - 3;1; - 2} \right)\).
b) Giả sử \(O'\left( {{x_{O'}};{y_{O'}};{z_{O'}}} \right)\).
\(O'\) là điểm đối xứng của điểm \(O\) qua điểm \(M\) thì \(M\) là trung điểm của \(OO'\).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}0 + {x_{O'}} = 2.3\\0 + {y_{O'}} = 2.\left( { - 1} \right)\\0 + {z_{O'}} = 2.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 6\\{y_{O'}} = - 2\\{z_{O'}} = 4\end{array} \right.\). Vậy \(O'\left( {6; - 2;4} \right)\).
c) \(OM = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {14} \).
d) Gọi \({M_1}\) là hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Khi đó \({M_1}\left( {3;0;2} \right)\).
\(d\left( {M,\left( {Oxz} \right)} \right) = M{M_1} = \left| {\overrightarrow {M{M_1}} } \right| = \sqrt {{{\left( {3 - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = 1\).
