Bài 3. Phương trình mặt cầu
Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, phương trình mặt cầu là một chủ đề quan trọng, giúp chúng ta mô tả và nghiên cứu các tính chất của mặt cầu trong hệ tọa độ.
1. Định nghĩa mặt cầu và các yếu tố cơ bản
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có cùng khoảng cách đến một điểm cố định gọi là tâm của mặt cầu. Khoảng cách này gọi là bán kính của mặt cầu.
- Tâm mặt cầu: Điểm cố định I(x0, y0, z0).
- Bán kính mặt cầu: R (R > 0).
2. Phương trình chính tắc của mặt cầu
Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I(x0, y0, z0) và bán kính R được biểu diễn như sau:
(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = R2
3. Phương trình mặt cầu dạng tổng quát
Phương trình mặt cầu có dạng tổng quát:
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Điều kiện để phương trình này là phương trình của một mặt cầu là:
a2 + b2 + c2 - d > 0
Khi đó, tâm của mặt cầu là I(a, b, c) và bán kính là R = √(a2 + b2 + c2 - d).
4. Các dạng bài tập thường gặp
- Bài tập 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu khi cho phương trình.
- Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.
- Bài tập 3: Xác định điều kiện để phương trình là phương trình của một mặt cầu.
- Bài tập 4: Tìm giao điểm của mặt cầu và đường thẳng, mặt phẳng.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 9.
Giải: Tâm của mặt cầu là I(1, -2, 3) và bán kính là R = √9 = 3.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2, -1, 0) và bán kính R = 5.
Giải: Phương trình mặt cầu là (x - 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 25.
6. Luyện tập
- Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-1, 2, 3) và bán kính R = 4.
- Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình x2 + y2 + z2 + 2x - 4y + 6z - 11 = 0.
- Chứng minh rằng phương trình x2 + y2 + z2 - 6x + 4y - 2z + 5 = 0 là phương trình của một mặt cầu.
7. Tổng kết
Bài học về phương trình mặt cầu đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất. Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Hãy truy cập tusach.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập Toán học hữu ích khác!
