Đề bài
Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d.
Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right),B\left( {3;2;2} \right),C\left( {4;3;5} \right)\).
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {4;2;4} \right)\).
b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;4;1} \right)\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;4} \right)\).
d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \):
Bước 1: Tìm một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\).
Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \).
‒ Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) nếu \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).
‒ Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) nếu hai vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{u_d}} \) cùng phương.
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {4;2;4} \right)\). Vậy a) đúng.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1.4 - 1.2;4.1 - 3.4;3.2 - 1.4} \right) = \left( {2; - 8;2} \right) = 2\left( {1; - 4;1} \right)\).
Vậy \(\overrightarrow n = \left( {1; - 4;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Vậy b) sai.
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;1} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 4;1} \right)\) là:
\(1\left( {x - 0} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + z + 3 = 0\).
Ta có: \(1 - 4.2 + 4 + 3 = 0\). Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;4} \right)\). Vậy c) đúng.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 4;1} \right)\).
Đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - 4;1} \right)\).
Vì \(\overrightarrow n = \overrightarrow u \) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\). Vậy d) đúng.
a) Đ.
b) S.
c) Đ.
d) Đ.
