Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \sqrt { - {x^2} + 9} \);
b) \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 10}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 2. Tính \(f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right)\).
Bước 3. Gọi \(M\) là số lớn nhất và \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \left[ { - 3;3} \right]\).
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt { - {x^2} + 9} \) trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - {x^2} + 9} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt { - {x^2} + 9} }} = \frac{{ - 2{\rm{x}}}}{{2\sqrt { - {x^2} + 9} }} = \frac{{ - {\rm{x}}}}{{\sqrt { - {x^2} + 9} }}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
\(f\left( { - 3} \right) = 0;f\left( 0 \right) = 3;f\left( 3 \right) = 0\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 3,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = f\left( { - 3} \right) = 0\).
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 10}}\) trên \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 10} \right) - \left( {x + 1} \right){{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 10} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 10} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 10} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 10} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2{\rm{x}} + 8}}{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 10} \right)}^2}}}\end{array}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \({\rm{x}} = - 4\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\max f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \frac{1}{6},\min f\left( x \right) = f\left( { - 4} \right) = - \frac{1}{6}\).
