Giải bài 4 trang 54 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 7 + 6t'\\z = - 1 - 2t'\end{array} \right.\);

b) \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1}\) và \(d':\frac{x}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z}{2}\);

c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 2 - t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\).

b) \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 7\end{array} \right.\);

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0;1;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'\left( {2;7; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( {2;6; - 2} \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {0;0;0} \right),\overrightarrow {MM'} = \left( {2;6; - 2} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \left( {0;0;0} \right)\). Vậy \({\Delta _1}\) trùng \({\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2;0;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'\left( {0;0;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( {4;6;2} \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {0;0;0} \right),\overrightarrow {MM'} = \left( { - 2;0;0} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \left( {0; - 2;6} \right)\). Vậy \({\Delta _1}\parallel {\Delta _2}\).

c) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'\left( {2;2;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( {2;3;1} \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {4; - 3;1} \right),\overrightarrow {MM'} = \left( {1;1; - 1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = 0\). Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

d) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'\left( {2;1;7} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( {0;1;0} \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow {MM'} = \left( {1;0;5} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = 4\). Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.