Đề bài
Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai chọn ra ngẫu nhiên 2 viên bi.
a) Tính xác suất của biến cố 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu.
b) Biết 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu, tính xác suất 3 viên bị lấy ra từ hộp thứ nhất cũng có cùng màu.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng công thức tính xác suất toàn phần: \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
‒ Sử dụng công thức Bayes: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(A\) là biến cố “2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu” và \(B\) là biến cố “3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu”.
• TH1: Chọn từ hộp thứ nhất 3 viên bi xanh
Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ nên xác suất để 3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu là: \(P\left( B \right) = \frac{{{C}_5^3}}{{{C}_6^3}} = \frac{1}{2}\).
Khi đó hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ.
Xác suất để chọn ra 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai là: \(\frac{{{C}_3^2}}{{{C}_7^2}} = \frac{1}{7}\).
Xác suất để chọn ra 2 viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: \(\frac{{{C}_4^2}}{{{C}_7^2}} = \frac{2}{7}\).
Vậy xác xuất để 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu biết rằng lấy ra từ hộp thứ nhất 3 viên bi xanh là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}\).
• TH2: Chọn từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ.
Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ nên xác suất để lấy ra từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ là: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).
Khi đó hộp thứ hai có 2 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ.
Xác suất để chọn ra 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai là: \(\frac{{{C}_2^2}}{{{C}_7^2}} = \frac{1}{{21}}\).
Xác suất để chọn ra 2 viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: \(\frac{{{C}_5^2}}{{{C}_7^2}} = \frac{{10}}{{21}}\).
Vậy xác xuất để 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu biết rằng lấy ra từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ là: \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{1}{{21}} + \frac{{10}}{{21}} = \frac{{11}}{{21}}\).
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu là:
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{1}{2}.\frac{3}{7} + \frac{1}{2}.\frac{{11}}{{21}} = \frac{{10}}{{21}} \approx 0,476\).
b) Theo công thức Bayes, xác suất 3 viên bi lấy ra ở hộp thứ nhất có cùng màu, biết rằng 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu là:
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}.\frac{3}{7}}}{{\frac{{10}}{{21}}}} = 0,45\).
