Bài 1. Phương trình mặt phẳng

Bài 1. Phương trình mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, một mặt phẳng được xác định bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vector pháp tuyến của mặt phẳng. Vector pháp tuyến là một vector vuông góc với mọi vector nằm trong mặt phẳng.

1. Vector pháp tuyến của mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P) và một điểm M₀(x₀, y₀, z₀) thuộc (P). Một vector n = (a, b, c) được gọi là vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu n vuông góc với mọi vector nằm trong mặt phẳng (P).

2. Các dạng phương trình mặt phẳng

Có ba dạng phương trình mặt phẳng thường được sử dụng:

• Phương trình tổng quát: ax + by + cz + d = 0, với (a, b, c) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.
• Phương trình tham số:
  • x = x₀ + at
  • y = y₀ + bt
  • z = z₀ + ct
  Trong đó (x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc mặt phẳng và (a, b, c) là vector chỉ phương của mặt phẳng.
• Phương trình theo đoạn chắn: x/a + y/b + z/c = 1, với a, b, c lần lượt là giao điểm của mặt phẳng với trục Ox, Oy, Oz.

3. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vector pháp tuyến n = (2, -1, 1).

Giải: Sử dụng phương trình tổng quát, ta có:

2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0

⇔ 2x - y + z - 3 = 0

Ví dụ 2: Tìm phương trình tham số của mặt phẳng đi qua điểm B(0, 1, -2) và song song với hai vector u = (1, 0, -1) và v = (0, 1, 1).

Giải: Vector pháp tuyến của mặt phẳng là n = u x v = (-1, -1, 1). Phương trình tham số của mặt phẳng là:

• x = -t
• y = 1 - t
• z = -2 + t

4. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng, cần chú ý:

• Xác định đúng vector pháp tuyến của mặt phẳng.
• Chọn phương trình mặt phẳng phù hợp với dữ kiện đề bài.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

5. Bài tập tự luyện

1. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1).
2. Tìm phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 2x - y + z + 1 = 0 và đi qua điểm M(1, 2, 3).
3. Tìm giao điểm của mặt phẳng x + y + z = 6 với đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + t.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phương trình mặt phẳng. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán khó hơn. Chúc bạn học tốt!