Đề bài
Bảng sau thống kê lương tháng của các nhân viên ở hai doanh nghiệp A và B.
a) Hãy so sánh độ phân tán của mức lương ở hai doanh nghiệp theo khoảng biến thiên.
b) Hãy so sánh độ phân tán của mức lương ở hai doanh nghiệp theo khoảng tử phân vị.
c) Biết rằng có 1 nhân viên ở doanh nghiệp A có lương tháng là 27 triệu đồng. Lương tháng của nhân viên này có phải là một giá trị ngoại lệ không? Tại sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} - {a_1}\).
‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
Tứ phân vị thứ \(k\) được xác định như sau: \({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)
trong đó:
• \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu;
• \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);
• \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);
• \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).
‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1}\).
‒ Nếu \({Q_3} + 1,5\Delta Q < a\) thì giá trị \(a\) là giá trị ngoại lệ.
Lời giải chi tiết
a) Khoảng biến thiên của mức lương ở doanh nghiệp A là: \({R_A} = 30 - 5 = 25\) (triệu đồng).
Khoảng biến thiên của mức lương ở doanh nghiệp B là: \({R_B} = 25 - 10 = 15\) (triệu đồng).
Do đó, nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì mức lương ở doanh nghiệp A phân tán hơn mức lương ở doanh nghiệp B.
b) • Độ phân tán của mức lương ở doanh nghiệp A:
\({n_A} = 2 + 5 + 32 + 8 + 1 = 48\)
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{48}}\) là mẫu số liệu gốc gồm mức lương của 48 nhân viên ở doanh nghiệp A theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{12}} + {x_{13}}} \right) \in \left[ {15;20} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{A1}} = 15 + \frac{{\frac{{1.48}}{4} - \left( {2 + 5} \right)}}{{32}}\left( {20 - 15} \right) = \frac{{505}}{{32}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{36}} + {x_{37}}} \right) \in \left[ {15;20} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{A3}} = 15 + \frac{{\frac{{3.48}}{4} - \left( {2 + 5} \right)}}{{32}}\left( {20 - 15} \right) = \frac{{625}}{{32}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\Delta {Q_A} = {Q_{A3}} - {Q_{A1}} = \frac{{625}}{{32}} - \frac{{505}}{{32}} = \frac{{15}}{4} = 3,75\) (triệu đồng).
• Độ phân tán của mức lương ở doanh nghiệp B:
\({n_B} = 20 + 25 + 20 = 65\)
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{65}}\) là mẫu số liệu gốc gồm mức lương của 65 nhân viên ở doanh nghiệp B theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{17}} \in \left[ {10;15} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{B1}} = 10 + \frac{{\frac{{1.65}}{4} - 0}}{{20}}\left( {15 - 10} \right) = \frac{{225}}{{16}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{49}} \in \left[ {20;25} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{B3}} = 20 + \frac{{\frac{{3.65}}{4} - \left( {20 + 25} \right)}}{{20}}\left( {25 - 20} \right) = \frac{{335}}{{16}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\Delta {Q_B} = {Q_{B3}} - {Q_{B1}} = \frac{{335}}{{16}} - \frac{{225}}{{16}} = \frac{{55}}{8} = 6,875\) (triệu đồng).
Do đó, nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì mức lương ở doanh nghiệp B phân tán hơn mức lương ở doanh nghiệp A.
c) Với số liệu ghép nhóm của doanh nghiệp A, ta có
\({Q_{A3}} + 1,5\Delta {Q_A} = \frac{{625}}{{32}} + 1,5.\frac{{15}}{4} = \frac{{805}}{{32}} = 25,15625 < 27\).
Do đó lương tháng 27 triệu đồng của nhân viên đó là giá trị ngoại lệ.
