Đề bài
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}}\);
b) \(y = \sqrt {{x^2} - 16} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.
‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\) hoặc
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = + \infty \)
Vậy \(x = - 3,x = 1\) là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 1\)
Vậy \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
b) Tập xác định: \(D = \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} \sqrt {{x^2} - 16} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \sqrt {{x^2} - 16} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {{x^2} - 16} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt {{x^2} - 16} = 0\)
Vậy hàm số không có tiệm cận đứng.
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{x} = 1\) và
\(\begin{array}{l}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} - 16} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} - 16} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} - 16} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 16} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 16}}{{\sqrt {{x^2} - 16} + x}} = 0\end{array}\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{x} = - 1\) và
\(\begin{array}{l}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} - 16} + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} - 16} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} - 16} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 16} - x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 16}}{{\sqrt {{x^2} - 16} - x}} = 0\end{array}\)
Vậy đường thẳng \(y = - x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
