Đề bài
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = 2{\rm{x}} + 1 + \frac{1}{{x - 3}}\);
b) \(y = \frac{{ - 3{{\rm{x}}^2} + 16{\rm{x}} - 3}}{{x - 5}}\);
c) \(y = \frac{{ - 6{x^2} + 7{\rm{x}} + 1}}{{3{\rm{x}} + 1}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\) hoặc
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2{\rm{x}} + 1 + \frac{1}{{x - 3}}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2{\rm{x}} + 1 + \frac{1}{{x - 3}}} \right) = + \infty \)
Vậy \({\rm{x}} = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(y = 2{\rm{x}} + 1 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{{2{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 2}}{{x - 3}}\)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 2}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = 2\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{2{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 2}}{{x - 3}} - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x - 3}} = 1\)
Vậy đường thẳng \(y = 2{\rm{x}} + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \frac{{ - 3{{\rm{x}}^2} + 16{\rm{x}} - 3}}{{x - 5}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{ - 3{{\rm{x}}^2} + 16{\rm{x}} - 3}}{{x - 5}} = + \infty \)
Vậy \({\rm{x}} = 5\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3{{\rm{x}}^2} + 16{\rm{x}} - 3}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = - 3\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{ - 3{{\rm{x}}^2} + 16{\rm{x}} - 3}}{{x - 5}} + 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 3}}{{x - 5}} = 1\)
Vậy đường thẳng \(y = - 3{\rm{x}} + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{3}} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{3}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{3}}^ - }} \frac{{ - 6{x^2} + 7{\rm{x}} + 1}}{{3{\rm{x}} + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{3}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{3}}^ + }} \frac{{ - 6{x^2} + 7{\rm{x}} + 1}}{{3{\rm{x}} + 1}} = - \infty \)
Vậy \({\rm{x}} = - \frac{1}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 6{x^2} + 7{\rm{x}} + 1}}{{x\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)}} = - 2\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{ - 6{x^2} + 7{\rm{x}} + 1}}{{3{\rm{x}} + 1}} + 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{9{\rm{x}} + 1}}{{3{\rm{x}} + 1}} = 3\)
Vậy đường thẳng \(y = - 2{\rm{x}} + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
