Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3: Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp chúng ta phác thảo chính xác hình dạng của đồ thị và phân tích hành vi của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc một giá trị cụ thể.

1. Khái Niệm Đường Tiệm Cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là một đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận vô cùng gần khi x hoặc y tiến tới một giá trị nhất định.

2. Các Loại Đường Tiệm Cận

Có ba loại đường tiệm cận chính:

• Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
• Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
• Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = mx + n (với m ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (mx + n)] = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (mx + n)] = 0.

3. Cách Xác Định Đường Tiệm Cận

Để xác định đường tiệm cận, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tiệm cận đứng: Tìm các giá trị x sao cho mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0.
2. Tiệm cận ngang: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng và âm vô cùng.
3. Tiệm cận xiên: Tính m = lim_x→∞ f(x)/x và n = lim_x→∞ [f(x) - mx].

4. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1)

• Tiệm cận đứng: x = 1 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 1)
• Tiệm cận ngang: y = 2 (vì lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2)
• Tiệm cận xiên: Không có (vì không có giới hạn hữu hạn cho m)

Ví dụ 2: Xét hàm số y = x² + 1

• Tiệm cận đứng: Không có
• Tiệm cận ngang: Không có
• Tiệm cận xiên: Không có

5. Bài Tập Thực Hành

Hãy xác định đường tiệm cận của các hàm số sau:

• y = (x + 3) / (x - 2)
• y = (2x² - 1) / (x² + 1)
• y = (x³ + 2x) / (x² - 1)

6. Lưu Ý Quan Trọng

Đồ thị hàm số có thể không cắt đường tiệm cận, nhưng cũng có trường hợp đồ thị cắt đường tiệm cận. Việc xác định đúng loại đường tiệm cận và phương trình của nó là rất quan trọng để hiểu rõ về hành vi của hàm số.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn nắm vững kiến thức về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.