Bài 2. Tọa độ của vecto trong không gian

Bài 2. Tọa độ của Vectơ trong Không gian

Trong chương trình Toán 12, chủ đề về vectơ trong không gian đóng vai trò then chốt, đặc biệt là phần tọa độ của vectơ. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về chủ đề này, từ định nghĩa, cách xác định tọa độ, đến các phép toán và ứng dụng thực tế.

1. Hệ tọa độ Oxyz trong không gian

Để xác định vị trí của một điểm trong không gian, chúng ta sử dụng hệ tọa độ Oxyz. Hệ tọa độ này bao gồm ba trục vuông góc nhau: trục Ox, trục Oy và trục Oz. Giao điểm của ba trục này là gốc tọa độ O.

Mỗi điểm trong không gian được xác định bởi ba tọa độ (x, y, z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ.

2. Tọa độ của vectơ

Một vectơ trong không gian được xác định bởi hướng và độ dài. Để biểu diễn vectơ bằng tọa độ, ta cần xác định tọa độ của điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

Nếu A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B) là hai điểm trong không gian, thì vectơ AB có tọa độ là:

AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)

3. Các phép toán trên vectơ biểu diễn bằng tọa độ

• Phép cộng vectơ: Nếu a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂) thì a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)
• Phép trừ vectơ: Nếu a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂) thì a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂)
• Phép nhân vectơ với một số thực: Nếu a = (x, y, z) và k là một số thực thì ka = (kx, ky, kz)

4. Ứng dụng của tọa độ vectơ trong không gian

Tọa độ vectơ trong không gian có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán hình học, bao gồm:

• Tính độ dài của vectơ:|a| = √(x² + y² + z²)
• Tính góc giữa hai vectơ: Sử dụng công thức tích vô hướng: a.b = |a||b|cos(θ)
• Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
• Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng: Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì tọa độ của M là: M = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2, (z_A + z_B)/2)

5. Bài tập ví dụ

Bài tập 1: Cho A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tìm tọa độ của vectơ AB.

Giải:AB = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)

6. Lời khuyên khi học tập

Để nắm vững kiến thức về tọa độ vectơ trong không gian, bạn nên:

1. Hiểu rõ định nghĩa và cách xác định tọa độ của vectơ.
2. Thực hành các phép toán trên vectơ bằng tọa độ.
3. Giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
4. Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính hoặc phần mềm vẽ hình để minh họa các khái niệm.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Bài 2. Tọa độ của Vectơ trong Không gian. Chúc bạn học tập tốt!