Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto
Trong chương trình học toán, đặc biệt là hình học giải tích, việc hiểu rõ về các phép toán trên vecto là vô cùng quan trọng. Bài học này sẽ tập trung vào việc biểu diễn các phép toán này bằng tọa độ, giúp chúng ta dễ dàng tính toán và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
1. Biểu diễn vecto bằng tọa độ
Một vecto trong không gian hai chiều (mặt phẳng) có thể được biểu diễn bằng một cặp số (x, y), gọi là tọa độ của vecto. Tương tự, trong không gian ba chiều, vecto được biểu diễn bằng bộ ba số (x, y, z). Ví dụ, vecto a = (2, 3) biểu diễn một vecto có hoành độ là 2 và tung độ là 3.
2. Phép cộng vecto
Để cộng hai vecto a = (x1, y1) và b = (x2, y2), ta cộng tương ứng các tọa độ của chúng: a + b = (x1 + x2, y1 + y2). Ví dụ: (1, 2) + (3, 4) = (4, 6).
3. Phép trừ vecto
Tương tự như phép cộng, để trừ hai vecto a = (x1, y1) và b = (x2, y2), ta trừ tương ứng các tọa độ của chúng: a - b = (x1 - x2, y1 - y2). Ví dụ: (5, 6) - (2, 1) = (3, 5).
4. Phép nhân vecto với một số
Để nhân một vecto a = (x, y) với một số thực k, ta nhân mỗi tọa độ của vecto với số đó: ka = (kx, ky). Ví dụ: 2(1, 3) = (2, 6).
5. Tích vô hướng của hai vecto
Tích vô hướng của hai vecto a = (x1, y1) và b = (x2, y2) được tính bằng công thức: a ⋅ b = x1x2 + y1y2. Tích vô hướng cho ta biết độ tương đồng về hướng giữa hai vecto. Nếu tích vô hướng bằng 0, hai vecto vuông góc với nhau.
6. Tích có hướng của hai vecto (trong không gian ba chiều)
Tích có hướng của hai vecto a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2) là một vecto c = (x3, y3, z3) được tính như sau:
- x3 = y1z2 - z1y2
- y3 = z1x2 - x1z2
- z3 = x1y2 - y1x2
Tích có hướng cho ta một vecto vuông góc với cả hai vecto a và b. Độ dài của tích có hướng bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vecto a và b.
Ví dụ minh họa
Cho hai vecto a = (1, 2, 3) và b = (4, 5, 6). Hãy tính:
- a + b = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)
- 2a = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4, 6)
- a ⋅ b = (1*4) + (2*5) + (3*6) = 4 + 10 + 18 = 32
Bài tập áp dụng
- Cho a = (2, -1) và b = (1, 3). Tính a + b và a - b.
- Cho a = (3, 0, -2) và b = (1, 1, 1). Tính a ⋅ b.
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!
