Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm cơ bản

Bài 4 trong chương trình Toán 10 là nền tảng quan trọng để hiểu sâu hơn về các khái niệm hàm số và đồ thị. Việc nắm vững phương pháp khảo sát và vẽ đồ thị không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là công cụ hữu ích cho các môn học khác liên quan đến toán học và khoa học.

I. Mục tiêu bài học

• Nắm vững các bước khảo sát hàm số.
• Biết cách xác định các yếu tố quan trọng của hàm số: tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, cực trị, điểm uốn.
• Vẽ được đồ thị của các hàm số cơ bản: hàm bậc nhất, hàm bậc hai, hàm mũ, hàm logarit.
• Rèn luyện kỹ năng phân tích và giải quyết bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị.

II. Nội dung bài học

1. Hàm số bậc nhất:

   Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a ≠ 0). Để khảo sát hàm số này, ta cần xác định hệ số a để biết hàm số đồng biến hay nghịch biến. Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng.

2. Hàm số bậc hai:

   Hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c (a ≠ 0). Việc khảo sát hàm số bậc hai bao gồm tìm đỉnh parabol, trục đối xứng, và các điểm cắt trục tọa độ. Dấu của a quyết định chiều mở của parabol (lên trên hoặc xuống dưới).

3. Hàm số mũ:

   Hàm số mũ có dạng y = a^x (a > 0 và a ≠ 1). Hàm số mũ luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên toàn bộ tập xác định. Đồ thị của hàm số mũ có tiệm cận ngang là trục Ox.

4. Hàm số logarit:

   Hàm số logarit có dạng y = log_ax (a > 0 và a ≠ 1). Hàm số logarit là hàm số nghịch biến hoặc đồng biến trên tập xác định. Đồ thị của hàm số logarit có tiệm cận đứng là trục Oy.

III. Phương pháp khảo sát hàm số tổng quát

1. Xác định tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm cấp nhất y'.
3. Tìm các điểm dừng của hàm số (y' = 0).
4. Xác định dấu của y' trên các khoảng xác định để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
5. Tính đạo hàm cấp hai y''.
6. Tìm các điểm uốn của hàm số (y'' = 0).
7. Xác định dấu của y'' trên các khoảng xác định để xác định khoảng lồi, lõm.
8. Vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã thu thập.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = 2x + 1

Đây là hàm số bậc nhất với a = 2 > 0, do đó hàm số đồng biến trên R. Đồ thị là một đường thẳng cắt trục Oy tại điểm (0, 1) và cắt trục Ox tại điểm (-1/2, 0).

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số y = x² - 4x + 3

Đây là hàm số bậc hai. Đỉnh của parabol là (2, -1). Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞, 2) và đồng biến trên khoảng (2, +∞). Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm (1, 0) và (3, 0).

V. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, hãy thực hành giải các bài tập sau:

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -x + 2
• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x² + 2x - 1
• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2^x
• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = log₂x

Lưu ý: Việc sử dụng các công cụ vẽ đồ thị trực tuyến như Desmos hoặc GeoGebra có thể giúp bạn kiểm tra lại kết quả và hiểu rõ hơn về đồ thị của hàm số.

Chúc bạn học tốt và thành công với bài học này!