Đề bài
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:
a) \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\);
b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\);
c) \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\);
d) \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Các bước để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\):
Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) của hàm số. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in D\) mà tại đó đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) theo thứ tự tăng dần, xét dấu \(f'\left( x \right)\) và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 8} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \)
\(= \frac{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \({\rm{x}} = - 4\).
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 4; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại $x=-4,{{y}_{CĐ}}=-4$; hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2,{y_{CT}} = 2\).
b) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có
\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 8x + 10} \right)}^\prime }\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 10} \right){{\left( {x - 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 8} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 10} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0\end{array}\)
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
c) Xét hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).
Ta có
\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( { - 2{x^2} + x + 2} \right)}^\prime }\left( {2x - 1} \right) - \left( { - 2{x^2} + x + 2} \right){{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( { - 4{\rm{x}} + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - \left( { - 2{x^2} + x + 2} \right).2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ - 4{x^2} + 4{\rm{x}} - 5}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {{\left( {2x - 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} < 0\end{array}\)
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
d) Xét hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\).
Ta có
\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( { - {x^2} - 6x - 25} \right)}^\prime }\left( {x + 3} \right) - \left( { - {x^2} - 6x - 25} \right){{\left( {x + 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ - 2{\rm{x}}\left( {x + 3} \right) - \left( { - {x^2} - 6x - 25} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - {{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 7}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\end{array}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \({\rm{x}} = - 7\).
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 7; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3;1} \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 7} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại $x=1,{{y}_{CĐ}}=-8$; hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 7,{y_{CT}} = 8\).
