Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
Bài 1 trong chương trình giải tích tập trung vào việc nghiên cứu tính chất biến thiên của hàm số, cụ thể là tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) và các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu). Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán thực tế và nâng cao khả năng phân tích hàm số.
1. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số
Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) ≤ f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) ≥ f(x2).
Mối liên hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm:
- Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
- Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).
- Nếu f'(x) = 0 trên một khoảng (a, b) thì hàm số f(x) không đổi trên (a, b).
2. Khái niệm về cực trị của hàm số
Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x0) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x0) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
Mối liên hệ giữa cực trị và đạo hàm:
- Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
- Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
3. Quy trình xét tính đơn điệu và cực trị của hàm số
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm cấp nhất f'(x).
- Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
- Lập bảng xét dấu f'(x).
- Kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
4. Ví dụ minh họa
Xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
f'(x) = 3x2 - 6x. Giải phương trình f'(x) = 0 ta được x = 0 hoặc x = 2.
Lập bảng xét dấu f'(x):
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|
| f'(x) | + | - | + |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Điểm x = 0 là điểm cực đại, f(0) = 2. Điểm x = 2 là điểm cực tiểu, f(2) = -2.
5. Bài tập áp dụng
Hãy xét tính đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
- f(x) = x4 - 4x2 + 3
- f(x) = (x - 1)2(x + 2)
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!
