Chương 6. Xác xuất có điều kiện

Chương 6: Xác xuất có điều kiện - Tổng quan

Xác suất có điều kiện là một khái niệm nền tảng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán khả năng xảy ra của một sự kiện, biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Nó khác với xác suất thông thường ở chỗ, không gian mẫu bị thu hẹp lại, chỉ còn bao gồm các kết quả mà sự kiện đã biết đã xảy ra.

1. Định nghĩa và Công thức

Xác suất có điều kiện của sự kiện A khi biết sự kiện B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa như sau:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), với điều kiện P(B) > 0

Trong đó:

• P(A|B): Xác suất của A khi biết B đã xảy ra.
• P(A ∩ B): Xác suất của cả A và B xảy ra.
• P(B): Xác suất của B xảy ra.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để quả bóng thứ hai là màu đỏ, biết rằng quả bóng thứ nhất là màu đỏ.

Giải:

Gọi A là sự kiện quả bóng thứ hai là màu đỏ, B là sự kiện quả bóng thứ nhất là màu đỏ.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (5/8 * 4/7) / (5/8) = 4/7

3. Các định lý liên quan

3.1. Định lý nhân xác suất

P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)

3.2. Định lý xác suất toàn phần

Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các sự kiện xung khắc và hợp của chúng bằng không gian mẫu Ω, thì:

P(A) = P(A|B₁) * P(B₁) + P(A|B₂) * P(B₂) + ... + P(A|B_n) * P(B_n)

3.3. Công thức Bayes

P(B_i|A) = [P(A|B_i) * P(B_i)] / [P(A|B₁) * P(B₁) + P(A|B₂) * P(B₂) + ... + P(A|B_n) * P(B_n)]

4. Sự kiện độc lập

Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của sự kiện này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của sự kiện kia.

P(A|B) = P(A) và P(B|A) = P(B)

Nếu A và B độc lập, thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

5. Ứng dụng của xác suất có điều kiện

• Y học: Chẩn đoán bệnh dựa trên kết quả xét nghiệm.
• Tài chính: Đánh giá rủi ro tín dụng.
• Marketing: Phân tích hành vi khách hàng.
• Kỹ thuật: Đánh giá độ tin cậy của hệ thống.

6. Bài tập thực hành

1. Một con xúc xắc được tung hai lần. Tính xác suất để tổng hai mặt là 7, biết rằng mặt thứ nhất là số chẵn.
2. Trong một lớp học có 60% học sinh giỏi toán và 40% học sinh giỏi văn. Biết rằng 20% học sinh giỏi cả hai môn. Tính xác suất một học sinh giỏi toán, biết rằng học sinh đó giỏi văn.

Chương 6 cung cấp nền tảng vững chắc cho việc hiểu và áp dụng các khái niệm xác suất trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc nắm vững các công thức và định lý liên quan sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả.