Đề bài
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\);
b) \(y = 2 - \frac{1}{{1 + x}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sơ đồ khảo sát hàm số:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
‒ Tìm đạo hàm \(y'\), xét dấu \(y'\), xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
‒ Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số
‒ Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm),…
‒ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
‒ Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết
a)
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
2. Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên:
Đạo hàm \(y' = - \frac{1}{{{x^2}}}\). Vì \(y' < 0\) với mọi \(x \ne 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
• Tiệm cận:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = + \infty \)
Vậy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3\)
Vậy \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
• Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left( { - \frac{1}{3};0} \right)\), đồ thị hàm số không có giao điểm với trục \(Oy\).
Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( {0;3} \right)\).
b) \(y = 2 - \frac{1}{{1 + x}}\)
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
2. Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên:
Đạo hàm \(y' = \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}\). Vì \(y' > 0\) với mọi \(x \ne - 1\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
• Tiệm cận:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = - \infty \)
Vậy \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2\)
Vậy \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
• Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\), số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;1} \right)\).
Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\).
