Lý thuyết Phương trình đường thẳng Toán 12 Cánh Diều

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\). Hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\)

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) với a, b, c là các số khác 0.

Hệ phương trình

\(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\)

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \).

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt \({A_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) và \({A_2}({x_2};{y_2};{z_2})\). Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = ({x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1};{z_2} - {z_1})\).

- Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + ({x_2} - {x_1})t\\y = {y_1} + ({y_2} - {y_1})t\\z = {z_1} + ({z_2} - {z_1})t\end{array} \right.\) \((t \in R)\).

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}({x_1};{y_1};{z_1})\), \({A_2}({x_2};{y_2};{z_2})\) và tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ({x_1};{y_1};{z_1})\), \(\overrightarrow {{u_2}} ({x_2};{y_2};{z_2})\). Khi đó:

+ \({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \notin {\Delta _2}\).

+ \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\).

+ \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \bot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} ({a_1};{b_1};{c_1})\), \(\overrightarrow {{u_2}} ({a_2};{b_2};{c_2})\). Khi đó, ta có:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u ({a_1};{b_1};{c_1})\) và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n ({a_2};{b_2};{c_2})\). Gọi \((\Delta ,(P))\) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). Khi đó, ta có:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} ({A_1};{B_1};{C_1})\), \(\overrightarrow {{n_2}} ({A_2};{B_2};{C_2})\). Khi đó, ta có: