Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Chào mừng các bạn đến với bài học số 2 trong chương trình Toán 12 về tích phân. Bài học hôm nay sẽ đi sâu vào việc tìm nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Đây là một bước quan trọng để hiểu rõ hơn về tích phân và ứng dụng của nó trong thực tế.

1. Định nghĩa nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Ký hiệu nguyên hàm của f(x) là ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản

Dưới đây là bảng tổng hợp nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp:

3. Các tính chất của nguyên hàm

• ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
• ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (k là hằng số)

4. Phương pháp tìm nguyên hàm

Có nhiều phương pháp để tìm nguyên hàm, trong đó phổ biến nhất là:

1. Phương pháp đặt ẩn phụ: Sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân có dạng phức tạp.
2. Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính ∫(2x³ + 3x² - 5)dx

Giải:

∫(2x³ + 3x² - 5)dx = 2∫x³dx + 3∫x²dx - 5∫dx = 2(x⁴/4) + 3(x³/3) - 5x + C = x⁴/2 + x³ - 5x + C

Ví dụ 2: Tính ∫x*e^xdx (sử dụng tích phân từng phần)

Giải:

Đặt u = x, dv = e^xdx. Suy ra du = dx, v = e^x. Áp dụng công thức tích phân từng phần:

∫x*e^xdx = x*e^x - ∫e^xdx = x*e^x - e^x + C

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các bạn hãy thử giải các bài tập sau:

• Tính ∫(x² + 2x + 1)dx
• Tính ∫sin(2x)dx
• Tính ∫(x+1)/x dx

Hy vọng bài học này đã giúp các bạn hiểu rõ hơn về nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán tích phân.