Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trong chương trình Toán học lớp 12, bài học về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đóng vai trò then chốt trong việc hiểu sâu về tính chất của hàm số và ứng dụng của đạo hàm. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về chủ đề này, bao gồm lý thuyết, phương pháp giải bài tập và các ví dụ minh họa chi tiết.

1. Khái niệm cơ bản

Giá trị lớn nhất (max) của hàm số f(x) trên một khoảng [a, b] là giá trị lớn nhất mà hàm số đạt được tại bất kỳ điểm nào trong khoảng đó. Tương tự, giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số f(x) trên khoảng [a, b] là giá trị nhỏ nhất mà hàm số đạt được tại bất kỳ điểm nào trong khoảng đó.

2. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên khoảng [a, b], ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
Tìm các điểm dừng của hàm số, tức là giải phương trình f'(x) = 0.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm dừng và tại các điểm biên a và b.
So sánh các giá trị vừa tính được. Giá trị lớn nhất trong số đó là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [a, b], và giá trị nhỏ nhất trong số đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng [a, b].

3. Các trường hợp đặc biệt

Hàm số không xác định trên toàn bộ khoảng [a, b]: Cần xem xét các khoảng liên tục của hàm số và áp dụng phương pháp trên cho từng khoảng.
Hàm số không có đạo hàm tại một số điểm trong khoảng [a, b]: Cần xem xét các điểm đó như các điểm dừng.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên khoảng [0, 3].

Giải:

f'(x) = 2x - 4
Giải f'(x) = 0, ta được x = 2.
Tính f(0) = 3, f(2) = -1, f(3) = 0.
So sánh các giá trị, ta thấy giá trị lớn nhất là 3 (tại x = 0) và giá trị nhỏ nhất là -1 (tại x = 2).

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin(x) trên khoảng [0, π].

Giải:

f'(x) = cos(x)
Giải f'(x) = 0, ta được x = π/2.
Tính f(0) = 0, f(π/2) = 1, f(π) = 0.
So sánh các giá trị, ta thấy giá trị lớn nhất là 1 (tại x = π/2) và giá trị nhỏ nhất là 0 (tại x = 0 và x = π).

5. Bài tập luyện tập

Dưới đây là một số bài tập để bạn luyện tập:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = -x² + 6x - 5 trên khoảng [1, 4].
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1, 2].

6. Kết luận

Việc nắm vững phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tế và nâng cao kiến thức về giải tích. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập.

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số