Đề bài
Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(-1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; -2).
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.
b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB và AC.
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về cặp vectơ chỉ phương để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \). Khi đó, vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \).
b) + Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\), trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình chính tắc của đường thẳng: Nếu \(abc \ne 0\) thì hệ phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\).
c) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng để viết phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(A\left( {x - {x_o}} \right) + B\left( {y - {y_o}} \right) + C\left( {z - {z_o}} \right) = 0\)
d) Chứng minh điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC). Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
e) Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Khoảng cách từ điểm \({M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) đến mặt phẳng (P): \(Ax + By + Cz + D = 0\) (\({A^2} + {B^2} + {C^2} > 0\)) được tính theo công thức: \(d\left( {{M_o},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).
Một vectơ vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 1}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {3;3;3} \right)\).
b) Đường thẳng AB đi qua điểm A(0; 1; 3) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên:
+ Phương trình tham số của đường thẳng AB: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 1 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) (t là tham số).
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng AB: \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\).
Đường thẳng AC đi qua điểm A(0; 1; 3) và nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên:
+ Phương trình tham số của đường thẳng AC: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) (t là tham số).
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng AC: .
c) Mặt phẳng (ABC) đi qua A(0; 1; 3) và nhận \(\frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) là:
\(x + y - 1 + z - 3 = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0\)
d) Thay tọa độ điểm D(1; 1; -2) vào mặt phẳng (ABC) ta có: \(1 + 1 + \left( { - 2} \right) - 4 = - 4 \ne 0\) nên điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC). Do đó, bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
e) Ta có: \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 1 - 2 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
