Đề bài
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 17}}{7}\);
b) \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 7}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 10}}{{ - 6}} = \frac{{y + 19}}{{ - 9}} = \frac{{z - 45}}{{21}}\);
c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 5}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z + 13}}{7}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng phân biệt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({M_1},{M_2}\) và tương ứng có \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không cùng phương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right] \ne 0\end{array} \right.\).
\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương và \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\end{array} \right.\).
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0\).
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;4; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1; - 5;5} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {5; - 2;7} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 13;5; - 17} \right)\).
Vì \(\frac{3}{5} \ne \frac{4}{{ - 2}}\), suy ra \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.
Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 12;10; - 22} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\{ - 2}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\7&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\5&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {26; - 26; - 26} \right)\)
Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 26.\left( { - 12} \right) - 26.10 - 26.\left( { - 22} \right) = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB} \) đồng phẳng. Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3; - 7} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;4} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6; - 9;21} \right)\) đi qua điểm \(B\left( { - 10; - 19;45} \right)\)
Ta có: \( - 3\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 6; - 9;21} \right) = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.
Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 12; - 18;41} \right)\), \(\frac{{ - 12}}{2} = \frac{{ - 18}}{3} \ne \frac{{41}}{{ - 7}}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} \) không cùng phương. Vậy \({\Delta _1}\) //\({\Delta _2}\).
c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1;3} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 3;5;2} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {5; - 2;7} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 13;9; - 13} \right)\).
Ta có: \(\frac{1}{5} \ne \frac{1}{{ - 2}}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.
Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 10;4; - 15} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 2}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\7&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\5&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {13;8; - 7} \right)\)
Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 13.\left( { - 10} \right) + 8.4 - 7.\left( { - 15} \right) = 7 \ne 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB} \) không đồng phẳng. Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
