Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Hướng dẫn chi tiết

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán 10, giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính chất của hàm số và ứng dụng của chúng trong thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn chi tiết về cách thực hiện các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số một cách hiệu quả.

I. Các bước khảo sát sự biến thiên của hàm số

1. Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
2. Tính đạo hàm cấp nhất: Tính f'(x) để xét tính đơn điệu của hàm số.
3. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị.
4. Lập bảng biến thiên: Dựa vào dấu của f'(x) để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
5. Xác định giới hạn vô cùng: Tính lim_x→+∞ f(x) và lim_x→-∞ f(x) để xác định tiệm cận ngang (nếu có).
6. Xác định tiệm cận đứng: Tìm các giá trị x sao cho f(x) tiến tới vô cùng để xác định tiệm cận đứng (nếu có).

II. Vẽ đồ thị hàm số

Sau khi khảo sát sự biến thiên, chúng ta có thể vẽ đồ thị hàm số bằng cách:

• Vẽ các điểm cực trị: Đánh dấu các điểm cực đại, cực tiểu trên hệ trục tọa độ.
• Vẽ tiệm cận: Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).
• Nối các điểm: Nối các điểm đã xác định lại với nhau, chú ý đến tính chất đơn điệu của hàm số.
• Kiểm tra lại: Kiểm tra lại đồ thị đã vẽ có phù hợp với bảng biến thiên và các tính chất của hàm số hay không.

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = x³ - 3x² + 2.

1. Tập xác định: D = ℝ
2. Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
3. Điểm cực trị: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
4. Bảng biến thiên:

   x	-∞	0	2	+∞
   y'	+	-	+
   y	↗	↘	↗

5. Giới hạn vô cùng: lim_x→+∞ (x³ - 3x² + 2) = +∞ và lim_x→-∞ (x³ - 3x² + 2) = -∞
6. Tiệm cận: Hàm số không có tiệm cận.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2.

IV. Luyện tập

Để nắm vững kiến thức về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, bạn nên luyện tập thêm với các bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán trực tuyến.

Lưu ý: Việc hiểu rõ các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách nhanh chóng và chính xác. Chúc bạn học tốt!