Đề bài
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm M(-3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 4;1} \right)\);
b) (P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;4;1} \right)\);
c) (P) đi qua điểm I(4; 0; -7) và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + y - z - 3 = 0\);
d) (P) đi qua điểm K(-4; 9; 2) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 6}}{5}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng để viết phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(A\left( {x - {x_o}} \right) + B\left( {y - {y_o}} \right) + C\left( {z - {z_o}} \right) = 0\)
+ Sử dụng kiến thức về cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng để tính: Nếu hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Lời giải chi tiết
a) Phương trình mặt phẳng (P): \(2\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 1.\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y + z + 6 = 0\).
b) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 2}\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 3}&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {5;5; - 5} \right)\).
(P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và nhận \(\frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P): \(x - 2 + y + 1 - \left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 4 = 0\)
c) Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Vì (P) song song với (Q) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là: \(2\left( {x - 4} \right) + y - \left( {z + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z - 15 = 0\).
d) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow u = \left( {2;1;5} \right)\).
Vì (P) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1;5} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là:
\(2\left( {x + 4} \right) + y - 9 + 5\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 11 = 0\).
