Giải bài tập 5 trang 78, 79 Toán 12 tập 2 - Cánh Diều

Giải bài tập 5 trang 78, 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Giải bài tập 5 trang 78, 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh Diều

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 5 trang 78, 79 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức liên quan đến nội dung bài học.

Tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp những tài liệu và lời giải chính xác, dễ hiểu nhất.

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau: a) \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\). b) \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\) và \(N\left( {3;0;4} \right)\).

Đề bài

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\).

b) \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\) và \(N\left( {3;0;4} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5 trang 78, 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều 1

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\), trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\).

Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình chính tắc của đường thẳng: Nếu \(abc \ne 0\) thì hệ phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\).

Sử dụng kiến thức về lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm để viết phương trình: Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right),B\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) có phương trình đường thẳng chính tắc là: \(\frac{{x - {x_0}}}{{{x_1} - {x_0}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{y_1} - {y_0}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{z_1} - {z_0}}}\) (với \({x_0} \ne {x_1};{y_0} \ne {y_1};{z_0} \ne {z_1}\)).

Lời giải chi tiết

a) Vì đường \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 1;3;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;4} \right)\) nên:

+ Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 + 4t\end{array} \right.\) (t là tham số).

+ Phương trình chính tắc: \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 2}}{4}\).

b) Vì \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\) và \(N\left( {3;0;4} \right)\) nên phương trình chính tắc của \(\Delta \) là:

\(\frac{{x - 2}}{{3 - 2}} = \frac{{y + 1}}{{0 + 1}} = \frac{{z - 3}}{{4 - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\).

Phương trình tham số của \(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Giải bài tập 5 trang 78, 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh Diều: Tổng quan và Phương pháp giải

Bài tập 5 trang 78, 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh Diều thuộc chương trình học về Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường tập trung vào việc xác định mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt phẳng hay không, và tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, các em cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

Phương trình mặt phẳng: Dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng là Ax + By + Cz + D = 0.
Phương trình đường thẳng: Có nhiều dạng phương trình đường thẳng trong không gian, bao gồm phương trình tham số và phương trình chính tắc.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mặt phẳng.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ chỉ phương là vectơ song song với đường thẳng.
Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi tích hỗn hợp của chúng bằng 0.

Hướng dẫn giải chi tiết bài tập 5 trang 78, 79

Để giúp các em hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng phần của bài tập 5. Bài tập thường được chia thành các câu nhỏ, yêu cầu các em thực hiện các thao tác khác nhau như:

Xác định phương trình mặt phẳng: Sử dụng các thông tin đã cho (ví dụ: ba điểm thuộc mặt phẳng, một điểm và một vectơ pháp tuyến) để tìm phương trình mặt phẳng.
Xác định phương trình đường thẳng: Sử dụng các thông tin đã cho (ví dụ: hai điểm thuộc đường thẳng, một điểm và một vectơ chỉ phương) để tìm phương trình đường thẳng.
Kiểm tra điểm thuộc mặt phẳng: Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng. Nếu phương trình thỏa mãn, điểm thuộc mặt phẳng.
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng.

Ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0 và đường thẳng (d): x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

Giải: Thay tọa độ của đường thẳng (d) vào phương trình mặt phẳng (P), ta được:

2(1 + t) - (2 - t) + (3 + 2t) - 5 = 0

2 + 2t - 2 + t + 3 + 2t - 5 = 0

5t - 2 = 0

t = 2/5

Thay t = 2/5 vào phương trình đường thẳng (d), ta được:

x = 1 + 2/5 = 7/5

y = 2 - 2/5 = 8/5

z = 3 + 2(2/5) = 19/5

Vậy giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là I(7/5, 8/5, 19/5).

Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức, các em nên tự giải thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Tusach.vn sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều bài giải và tài liệu học tập hữu ích khác. Chúc các em học tốt!

Bảng tổng hợp các công thức liên quan

Công thức	Mô tả
Phương trình mặt phẳng	Ax + By + Cz + D = 0
Phương trình đường thẳng (tham số)	x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct