Bài 1. Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện là một khái niệm nền tảng trong lý thuyết xác suất và thống kê. Nó cho phép chúng ta cập nhật niềm tin về khả năng xảy ra của một sự kiện dựa trên thông tin về việc một sự kiện khác đã xảy ra. Bài viết này sẽ đi sâu vào định nghĩa, công thức, ví dụ minh họa và ứng dụng của xác suất có điều kiện.
1. Định nghĩa Xác suất có điều kiện
Cho hai sự kiện A và B trong không gian mẫu Ω. Xác suất có điều kiện của A khi biết B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa là:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (với P(B) > 0)
Trong đó:
- P(A|B): Xác suất của sự kiện A xảy ra khi biết sự kiện B đã xảy ra.
- P(A ∩ B): Xác suất của sự kiện A và B đồng thời xảy ra.
- P(B): Xác suất của sự kiện B xảy ra.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để quả bóng thứ hai là màu đỏ, biết rằng quả bóng thứ nhất là màu đỏ.
Giải:
Gọi A là sự kiện quả bóng thứ hai là màu đỏ, B là sự kiện quả bóng thứ nhất là màu đỏ.
Ta cần tính P(A|B). Theo công thức, P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
P(B) = 5/8 (xác suất quả bóng thứ nhất là đỏ)
P(A ∩ B) = (5/8) * (4/7) (xác suất cả hai quả bóng đều đỏ)
Vậy, P(A|B) = (5/8 * 4/7) / (5/8) = 4/7
3. Các tính chất của Xác suất có điều kiện
- P(A|Ω) = P(A) (Xác suất của A khi biết chắc chắn sự kiện Ω xảy ra bằng xác suất của A).
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) (Công thức cộng xác suất).
- P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A) (Công thức nhân xác suất).
4. Sự kiện độc lập
Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của sự kiện này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của sự kiện kia. Điều này có nghĩa là:
P(A|B) = P(A) hoặc P(B|A) = P(B)
Và tương đương với:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
5. Ứng dụng của Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
- Y học: Tính xác suất mắc bệnh khi có các triệu chứng nhất định.
- Tài chính: Đánh giá rủi ro tín dụng.
- Marketing: Phân tích hành vi khách hàng.
- Kỹ thuật: Độ tin cậy của hệ thống.
6. Bài tập áp dụng
Bài 1: Một cuộc khảo sát cho thấy 60% người dân thích xem phim, 50% thích nghe nhạc và 30% thích cả hai. Tính xác suất một người thích xem phim, biết rằng họ thích nghe nhạc.
Bài 2: Một máy sản xuất linh kiện có tỷ lệ linh kiện lỗi là 5%. Kiểm tra ngẫu nhiên 10 linh kiện. Tính xác suất có ít nhất một linh kiện lỗi.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về xác suất có điều kiện. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!
