Đề bài
Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250km so với bề mặt của Mặt Trăng.
Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm độ cao hát của con tàu so với bề mặt của mặt trăng được tính gần đúng bởi hàm:
\(h\left( t \right) = - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250\)
Trong đó t là thời gian tính bằng giây và h là độ cao tính bằng kilômét.
a) Tìm thời điểm t (0 ≤ t ≤ 70) sao cho con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng. Khoảng cách nhỏ nhất này là bao nhiêu?
b) Vẽ đồ thị của hàm số y = h(t) với 0 ≤ t ≤ 70 (đơn vị trên trục hoành là 10 giây, đơn vị trên trục tung là 50 km).
c) Gọi v(t) là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm t (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với 0 ≤ t ≤ 70. Xác định hàm số v(t).
d) Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu? Tại thời điểm t = 25 (giây) là bao nhiêu?
e) Tại thời điểm t = 25 (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay đang tăng trở lại?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ứng dụng đạo hàm trong xử lý các bài toán thực tiễn.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \( h(t) = -0,01t^3 + 1,1t^2 - 30t + 250 \) với \( t \in [0; 70] \).
Ta có \( h'(t) = -0,03t^2 + 2,2t - 30 \);
Trên khoảng (0; 70), \( h'(t) = 0 \) khi \( t \approx 18 \) hoặc \( t \approx 55 \).
\( h(0) = 250; h(18) \approx 8,08; h(55,23) \approx 263,75; h(70) = 110 \).
Do đó, \(\min_{[0; 70]} h(t) = 8,08 \) tại \( t = 18 \).
Vậy tại thời điểm \( t = 18 \) giây thì con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng và khoảng cách nhỏ nhất này bằng 8,08 km.
b) Xét hàm số \( h(t) = -0,01t^3 + 1,1t^2 - 30t + 250 \) với \( t \in [0; 70] \).
Ta có \( h'(t) = -0,03t^2 + 2,2t - 30 \);
Trên khoảng (0; 70), \( h'(t) = 0 \) khi \( t \approx 18 \) hoặc \( t \approx 55 \).
Bảng biến thiên của hàm số \( h(t) \) như sau:
Trên khoảng (0; 70), đồ thị hàm số h(t) đi qua các điểm (0; 250), (10; 50), (50; 250) và (60; 250).
c) Ta có \(v(t)\) là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm \(t\) (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với \(0 \le t \le 70\).
Khi đó \(v(t) = h'(t) = -0,03t^2 + 2,2t - 30\) với \(t \in [0; 70]\).
d) Tại thời điểm bắt đầu đốt cháy các tên lửa hãm, tức \(t = 0\), vận tốc của tức thời của con tàu là:
\(v(0) = -0,03 \cdot 0^2 + 2,2 \cdot 0 - 30 = -30\) (km/s).
Tại thời điểm \(t = 25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu là:
\(v(25) = -0,03 \cdot 25^2 + 2,2 \cdot 25 - 30 = 6,25\) (km/s).
e) Tại thời điểm \(t = 25\) (giây), lúc đó \(t \in (18; 55)\), căn cứ vào bảng biến thiên ở câu b), ta thấy rằng \(h'(t) > 0\), tức là \(v(t) > 0\), vậy vận tốc tức thời của con tàu đang tăng trở lại.
