Lý thuyết Khoảng biến thiên, Khoảng tứ phân vị - Toán 12 Cánh Diều
Trong chương trình Toán 12, đặc biệt là sách Cánh Diều, việc hiểu rõ về các đại lượng thống kê như khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là vô cùng quan trọng. Chúng không chỉ xuất hiện trong các bài kiểm tra, thi cử mà còn là nền tảng để phân tích và đánh giá dữ liệu trong thực tế.
1. Khoảng biến thiên (Range)
Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một mẫu số liệu. Nó cho biết mức độ phân tán của dữ liệu. Công thức tính khoảng biến thiên (R) như sau:
R = Xmax - Xmin
Trong đó:
- Xmax: Giá trị lớn nhất trong mẫu số liệu
- Xmin: Giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu
Ví dụ: Cho mẫu số liệu: 2, 5, 7, 10, 12. Khoảng biến thiên là R = 12 - 2 = 10.
2. Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR)
Khoảng tứ phân vị là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba (Q3) và tứ phân vị thứ nhất (Q1). Nó đo lường khoảng cách chứa 50% dữ liệu trung tâm của mẫu. Công thức tính khoảng tứ phân vị (IQR) như sau:
IQR = Q3 - Q1
Để tính khoảng tứ phân vị, trước hết ta cần tìm các tứ phân vị Q1, Q2, Q3.
- Q1 (Tứ phân vị thứ nhất): Giá trị phân chia phần 25% dữ liệu nhỏ nhất với phần 75% dữ liệu còn lại.
- Q2 (Tứ phân vị thứ hai): Trung vị của mẫu số liệu.
- Q3 (Tứ phân vị thứ ba): Giá trị phân chia phần 75% dữ liệu nhỏ nhất với phần 25% dữ liệu còn lại.
3. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Khi dữ liệu được biểu diễn dưới dạng bảng tần số ghép nhóm, việc tính toán các tứ phân vị và khoảng tứ phân vị sẽ phức tạp hơn. Ta sử dụng công thức sau:
Qi = Li + ( (n/4) - cfi-1 ) * w / fi (với i = 1, 2, 3)
Trong đó:
- Li: Cận dưới của khoảng chứa Qi
- n: Tổng tần số
- cfi-1: Tần số tích lũy của khoảng trước khoảng chứa Qi
- w: Khoảng lớp
- fi: Tần số của khoảng chứa Qi
Ví dụ: Xét bảng tần số sau:
| Khoảng | Tần số (f) | Tần số tích lũy (cf) |
|---|
| [0, 10) | 5 | 5 |
| [10, 20) | 10 | 15 |
| [20, 30) | 15 | 30 |
| [30, 40) | 10 | 40 |
Để tính Q1, ta có n = 40. Q1 nằm trong khoảng [0, 10) vì (40/4) = 10 < 15. Vậy L1 = 0, cf0 = 0, w = 10, f1 = 5. Q1 = 0 + (10 - 0) * 10 / 5 = 20. (Lưu ý: đây là một ví dụ đơn giản, cần kiểm tra lại tính chính xác với dữ liệu thực tế).
4. Ý nghĩa của Khoảng biến thiên và Khoảng tứ phân vị
Khoảng biến thiên cho biết phạm vi giá trị của dữ liệu, trong khi khoảng tứ phân vị tập trung vào sự phân tán của 50% dữ liệu trung tâm. Khoảng tứ phân vị ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ hơn so với khoảng biến thiên, do đó nó là một thước đo độ phân tán mạnh mẽ hơn.
5. Bài tập áp dụng
Để củng cố kiến thức, các bạn hãy tự giải các bài tập sau (tham khảo sách Toán 12 Cánh Diều):
- Bài 1: Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu sau: ...
- Bài 2: Cho bảng tần số ghép nhóm, hãy tính Q1, Q2, Q3 và IQR.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết Khoảng biến thiên và Khoảng tứ phân vị trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tốt!
