Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số - Tổng quan
Trong chương trình giải tích, việc hiểu rõ về tính đơn điệu của hàm số là vô cùng quan trọng. Nó không chỉ là nền tảng cho việc giải các bài toán về cực trị, mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác của toán học và khoa học kỹ thuật.
1. Định nghĩa hàm số đơn điệu
Một hàm số f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Dấu '=' xảy ra khi hàm số không liên tục hoặc không xác định tại một điểm trong khoảng (a, b).
Một hàm số f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2). Tương tự, dấu '=' có thể xảy ra khi hàm số không liên tục hoặc không xác định.
2. Điều kiện để hàm số đơn điệu
Để xác định tính đơn điệu của hàm số, chúng ta thường sử dụng đạo hàm. Cụ thể:
- Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
- Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).
- Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) không đơn điệu trên (a, b).
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x2 trên khoảng (0, +∞). Ta có f'(x) = 2x. Vì x > 0 trên khoảng này, nên f'(x) > 0. Do đó, hàm số f(x) = x2 đồng biến trên khoảng (0, +∞).
Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = -x2 trên khoảng (-∞, 0). Ta có f'(x) = -2x. Vì x < 0 trên khoảng này, nên f'(x) > 0. Do đó, hàm số f(x) = -x2 đồng biến trên khoảng (-∞, 0).
4. Bài tập áp dụng
Hãy xác định tính đơn điệu của các hàm số sau:
- f(x) = 2x + 1
- f(x) = x3 - 3x2 + 2
- f(x) = sin(x) trên khoảng (0, π)
5. Lưu ý quan trọng
Khi xét tính đơn điệu của hàm số, cần chú ý đến tập xác định của hàm số và các điểm không xác định của đạo hàm. Việc xác định đúng khoảng xét tính đơn điệu là rất quan trọng để đưa ra kết luận chính xác.
6. Mở rộng kiến thức
Để hiểu sâu hơn về tính đơn điệu của hàm số, bạn có thể tìm hiểu thêm về các khái niệm liên quan như cực trị, điểm uốn và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số. Chúc bạn học tập tốt!
