Chương 4. Nguyên Hàm - Tích Phân | tusach.vn

Chương 4: Nguyên Hàm - Tích Phân

Chào mừng bạn đến với chương 4 của môn Giải tích, một chương quan trọng đặt nền móng cho việc hiểu sâu hơn về các khái niệm và ứng dụng của toán học trong thực tế. Chương này sẽ đi sâu vào hai khái niệm cốt lõi: Nguyên hàm và Tích phân.

1. Nguyên Hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm được gọi là phép tính tích phân bất định. Một hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, khác nhau bởi một hằng số cộng C.

Định nghĩa: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a, b) nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc (a, b).
Tính chất:
- (F(x) + C)' = f(x) với mọi hằng số C.
- ∫f(x) dx = F(x) + C
Các nguyên hàm cơ bản:
Hàm số f(x) Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1) (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x ln|x| + C
e^x e^x + C
sin(x) -cos(x) + C
cos(x) sin(x) + C

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

2. Tích Phân Bất Định

Tích phân bất định là quá trình tìm nguyên hàm của một hàm số. Ký hiệu: ∫f(x) dx. Kết quả của tích phân bất định là một họ các hàm số, khác nhau bởi một hằng số cộng C.

3. Tích Phân Xác Định

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, biểu thị diện tích có dấu giữa đồ thị của hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b. Ký hiệu: ∫_a^b f(x) dx.

Định lý cơ bản của tích phân: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x).
Ứng dụng: Tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể, tính độ dài đường cong,...

4. Các Phương Pháp Tính Tích Phân

Có nhiều phương pháp để tính tích phân, bao gồm:

Phương pháp đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số.
Phương pháp phân tích thành phân thức đơn giản: Sử dụng để tính tích phân của các hàm hữu tỉ.

5. Ứng Dụng của Tích Phân

Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

Vật lý: Tính quãng đường đi được, vận tốc, gia tốc.
Kinh tế: Tính tổng chi phí, tổng doanh thu.
Kỹ thuật: Tính diện tích, thể tích, trọng tâm.

Hy vọng chương 4 này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về Nguyên hàm và Tích phân. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.

Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân