Giải bài tập 8 trang 81 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Một vật có trọng lượng 300N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trog các điểm \(P( - 2;0;0),Q(1;\sqrt 3 ;0),R(1; - \sqrt 3 ;0)\) còn đầu kia gắn với vật tại điểm \(S(0;0; - 2\sqrt 3 )\) như Hình 28. Gọi \(\mathop {{F_1}}\limits^ \to ,\mathop {{F_2}}\limits^ \to ,\mathop {{F_3}}\limits^ \to \) lần lượt là lực căng trên các sợi dây cáp RS, QS và PS. Tìm tọa độ các lực \(\mathop {{F_1}}\limits^ \to ,\mathop {{F_2}}\limits^ \to ,\mathop {{F_3}}\limits^ \to \).\(\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\mathop {SP}\limits^ \to = ( - 2;0;2\sqrt 3 ),\mathop {SQ}\limits^ \to = (1;\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ),\mathop {SR}\limits^ \to = (1; - \sqrt 3 ;2\sqrt 3 )\).

Suy ra: \(\left| {\mathop {SP}\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {SQ}\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {SR}\limits^ \to } \right| = 4\).

Mặt khác: \(\mathop {SP}\limits^ \to = (3;\sqrt 3 ;0),\mathop {QR}\limits^ \to = (0; - 2\sqrt 3 ;0),\mathop {SR}\limits^ \to = ( - 3;\sqrt 3 ;0)\).

Suy ra: \(\left| {\mathop {QP}\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {QR}\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {RP}\limits^ \to } \right| = 2\sqrt 3 \) nên tam giác PQR đều.

Do đó: \(\left| {\mathop {{F_1}}\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {{F_2}}\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {{F_3}}\limits^ \to } \right|\). Tồn tại hằng số \(c \ne 0\) sao cho:

\(\mathop {{F_1}}\limits^ \to = c\mathop {SR}\limits^ \to = (c; - \sqrt 3 c;2\sqrt 3 c)\)

\(\mathop {{F_2}}\limits^ \to = c\mathop {SQ}\limits^ \to = (c;\sqrt 3 c;2\sqrt 3 c)\)

\(\mathop {{F_3}}\limits^ \to = c\mathop {SP}\limits^ \to = ( - 2c;0;2\sqrt 3 c)\)

Suy ra \(\mathop {{F_1}}\limits^ \to + \mathop {{F_2}}\limits^ \to + \mathop {{F_3}}\limits^ \to = (0;0;6\sqrt 3 c)\).

Mà \(\mathop {{F_1}}\limits^ \to + \mathop {{F_2}}\limits^ \to + \mathop {{F_3}}\limits^ \to = \mathop F\limits^ \to \), trong đó \(\mathop F\limits^ \to = (0;0; - 300)\) là trọng lực của vật.

Suy ra \(6\sqrt 3 c = - 300\), tức \(c = \frac{{ - 50\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\mathop {{F_1}}\limits^ \to = \left( {\frac{{ - 50\sqrt 3 }}{3};50; - 100} \right),\mathop {{F_2}}\limits^ \to = \left( {\frac{{ - 50\sqrt 3 }}{3}; - 50; - 100} \right);\mathop {{F_1}}\limits^ \to = \left( {\frac{{100\sqrt 3 }}{3};0; - 100} \right)\).