Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chào mừng đến với chương 1 của khóa học về ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Đây là một trong những chủ đề quan trọng nhất trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và phân tích các hàm số phức tạp.

1. Giới thiệu chung về đạo hàm và ứng dụng

Đạo hàm của một hàm số tại một điểm biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Ứng dụng của đạo hàm rất rộng rãi, bao gồm việc tìm cực trị, điểm uốn, khoảng đồng biến, nghịch biến, và vẽ đồ thị hàm số. Hiểu rõ đạo hàm là bước đầu tiên để làm chủ các khái niệm này.

2. Khảo sát hàm số bằng đạo hàm

Quá trình khảo sát hàm số bằng đạo hàm bao gồm các bước sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số: Tìm các giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
2. Tính đạo hàm cấp nhất (f'(x)): Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số.
3. Tìm điểm dừng (critical points): Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0.
4. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Dựa vào dấu của f'(x) trên các khoảng xác định để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
5. Tìm cực trị: Sử dụng đạo hàm cấp hai (f''(x)) để xác định cực đại và cực tiểu của hàm số.
6. Tính đạo hàm cấp hai (f''(x)): Tìm đạo hàm của đạo hàm cấp nhất.
7. Tìm điểm uốn: Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm uốn của hàm số.
8. Xác định khoảng lồi, lõm: Dựa vào dấu của f''(x) để xác định khoảng lồi và lõm của hàm số.
9. Tìm tiệm cận: Xác định các đường tiệm cận đứng, ngang và xiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị hàm số

Sau khi khảo sát hàm số, chúng ta có thể vẽ đồ thị của nó bằng cách:

• Xác định các điểm đặc biệt: Điểm cực trị, điểm uốn, giao điểm với các trục tọa độ.
• Vẽ các đường tiệm cận: Vẽ các đường tiệm cận đã xác định.
• Kết nối các điểm: Kết nối các điểm đặc biệt và sử dụng thông tin về khoảng đồng biến, nghịch biến, khoảng lồi, lõm để vẽ đồ thị một cách chính xác.

4. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = x³ - 3x² + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước khảo sát hàm số để vẽ đồ thị của hàm số này.

5. Bài tập thực hành

Để củng cố kiến thức, hãy giải các bài tập sau:

• Khảo sát hàm số y = x⁴ - 4x² + 3
• Khảo sát hàm số y = (x - 1)/(x + 1)

Tusach.vn hy vọng rằng chương 1 này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để ứng dụng đạo hàm vào việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Chúc bạn học tập tốt!