Giải bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Tổng quan nội dung
Giải bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp kiến thức chính xác và dễ hiểu nhất.
Tìm các đường TCN và TCĐ của mỗi hàm số sau: A. (y = frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}) B. (y = frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}) C. (y = frac{x}{{sqrt {{x^2} - 4} }})
Đề bài
Tìm các đường TCN và TCĐ của mỗi hàm số sau:
A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)
B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)
C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm TXD.
Phân tích hàm số.
Tìm TCD, TCN.
Lời giải chi tiết
A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)
Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\)
Đặt mẫu: \(3x - 2 = 0\) → \(x = \frac{2}{3}\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} (5x + 1) = 5.\frac{2}{3} + 1 = \frac{{13}}{3}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} (3x - 2) = 3.\frac{2}{3} - 2 = 0\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \infty \).
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = \frac{2}{3}\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{5 + \frac{1}{x}}}{{3 - \frac{2}{x}}} = \frac{5}{3}\).
Vậy, hàm số có TCN là: \(y = \frac{5}{3}\).
B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)
TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
Đặt mẫu \({x^3} + 1 = 0\) → \(x = - 1\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} (2{x^3} - 3x) = 2.{( - 1)^3} - 3.( - 1) = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^3} + 1) = {( - 1)^3} + 1 = 0\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = \infty \).
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = - 1\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}} = 2\).
Vậy hàm số có TCN là: \(y = 2\).
C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)
TXĐ: \(x \in \left[ { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right]\)
Đặt mẫu \(\sqrt {{x^2} - 4} = 0\) → \(x = - 2;\;x = 2\).
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = - 2;\;x = 2\).
Ta có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} = 1\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{ - x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{ - \sqrt 1 }} = - 1\).
Vậy hàm số có TCN là: \(y = 1;\;y = - 1\).
Giải bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu
Bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho các chương trình học nâng cao hơn. Việc nắm vững phương pháp giải các bài tập trong chương này sẽ giúp các em tự tin hơn khi làm bài kiểm tra và thi cử.
Nội dung bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Bài tập 6 yêu cầu tính các giới hạn sau:
- lim (x→2) (x^2 - 3x + 2) / (x - 2)
- lim (x→-1) (x^2 + 1) / (x + 1)
- lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x
Phương pháp giải bài tập về giới hạn
Để giải các bài tập về giới hạn, các em cần nắm vững các phương pháp sau:
- Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị của x vào biểu thức giới hạn. Nếu biểu thức có dạng xác định, kết quả sẽ là giá trị của biểu thức tại x.
- Phương pháp phân tích thành nhân tử: Nếu biểu thức giới hạn có dạng vô định (0/0), các em có thể phân tích thành nhân tử để rút gọn biểu thức.
- Phương pháp nhân liên hợp: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng vô định.
- Quy tắc L'Hopital: Áp dụng quy tắc L'Hopital khi biểu thức giới hạn có dạng 0/0 hoặc ∞/∞.
Lời giải chi tiết bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Câu a: lim (x→2) (x^2 - 3x + 2) / (x - 2)
Ta có: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Do đó: lim (x→2) (x^2 - 3x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1) = 2 - 1 = 1
Câu b: lim (x→-1) (x^2 + 1) / (x + 1)
Khi x → -1, x^2 + 1 → 2 và x + 1 → 0. Do đó, giới hạn này không tồn tại.
Câu c: lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x
Ta nhân liên hợp:
lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x = lim (x→0) [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)] / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) (x+1 - 1) / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) x / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / 2
Lưu ý khi giải bài tập về giới hạn
- Luôn kiểm tra xem biểu thức giới hạn có dạng vô định hay không.
- Chọn phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài tập.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải.
Tổng kết
Bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều là một bài tập cơ bản về giới hạn. Việc nắm vững các phương pháp giải và luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em giải quyết các bài tập tương tự một cách dễ dàng.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích. Chúc các em học tập tốt!