Đề bài
Tìm các đường TCN và TCĐ của mỗi hàm số sau:
A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)
B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)
C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm TXD.
Phân tích hàm số.
Tìm TCD, TCN.
Lời giải chi tiết
A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)
Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\)
Đặt mẫu: \(3x - 2 = 0\) → \(x = \frac{2}{3}\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} (5x + 1) = 5.\frac{2}{3} + 1 = \frac{{13}}{3}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} (3x - 2) = 3.\frac{2}{3} - 2 = 0\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \infty \).
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = \frac{2}{3}\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{5 + \frac{1}{x}}}{{3 - \frac{2}{x}}} = \frac{5}{3}\).
Vậy, hàm số có TCN là: \(y = \frac{5}{3}\).
B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)
TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
Đặt mẫu \({x^3} + 1 = 0\) → \(x = - 1\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} (2{x^3} - 3x) = 2.{( - 1)^3} - 3.( - 1) = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^3} + 1) = {( - 1)^3} + 1 = 0\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = \infty \).
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = - 1\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}} = 2\).
Vậy hàm số có TCN là: \(y = 2\).
C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)
TXĐ: \(x \in \left[ { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right]\)
Đặt mẫu \(\sqrt {{x^2} - 4} = 0\) → \(x = - 2;\;x = 2\).
Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = - 2;\;x = 2\).
Ta có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} = 1\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{ - x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{ - \sqrt 1 }} = - 1\).
Vậy hàm số có TCN là: \(y = 1;\;y = - 1\).
